はじめに
「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p32の式(2.108)までの式を導出する。
の計算
重みのプライマリー場
は
の多項式で書くことができる。
\begin{align}
\phi(z)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}\phi_nz^{-n-h}\label{eq1}
\end{align}
この式の両辺にをかけ、原点を含む経路
で複素積分を実行すれば次式を得る。
\begin{align}
\phi_m=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\phi(z)z^{h-1+m}
\end{align}
これと、先に求めたVirasoro演算子
\begin{align}
L_n=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1}\label{eq3}
\end{align}
との間の交換関係を計算する。
\begin{align}
[L_n,\phi_m]
&=[\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1},\oint_C\frac{dw}{2\pi i}\phi(w)w^{h-1+m}]\nonumber\\
&=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_C\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}[T(z),\phi(w)]\nonumber\\
&=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}R[T(z)\phi(w)]
\end{align}
ここで、は
を含み原点を含まない経路、
は動径順序積を表す。
\begin{align}
R[T(z)\phi(w)]=\frac{h\phi(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial\phi(w)}{z-w}
\end{align}
を代入すると
\begin{align}
[L_n,\phi_m]
&=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\left\{
(n+1)w^nh\phi(w)+w^{n+1}\partial\phi(w)
\right\}\nonumber\\
&=(n+1)h\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m+n}
\phi(w)+
\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w)
\nonumber\\
&=(n+1)h\phi_{m+n}+
\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w)\label{eq6}
\end{align}
を得る。式(\ref{eq1})より
\begin{align}
\partial\phi(w)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}(-n-h)\phi_nw^{-n-h-1}
\end{align}
であるから、これを式(\ref{eq6})の第2項に代入すると
\begin{align}
[L_n,\phi_m]
&=(n+1)h\phi_{m+n}-(m+n+h)\phi_{m+n}\nonumber\\
&=[(h-1)n-m]\phi_{m+n}
\end{align}
を得る。これがテキストの式(2.99)である。さて、と置くと
\begin{align}
[L_0,\phi_{-n}]=n\phi_{-n}
\end{align}
となる。これがテキストの式(2.100)である。
並進変換の生成子
微小変換
\begin{align}
z^{\prime}=z-\epsilon(z)
\end{align}
の生成子は次式で与えられた。
\begin{align}
Q_{\epsilon}=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\epsilon(z)T(z)
\end{align}
従って、式(\ref{eq3})で与えられるVirasoro演算子は微小変換
\begin{align}
z^{\prime}&=z-az^{n+1}\nonumber\\
&=(1-az^n)z\nonumber\\
&\simeq e^{-az^n}z
\end{align}
の生成子である（は微小量とした）。
のとき
\begin{align}
z^{\prime}\simeq e^{-a}z
\end{align}
ここに、を代入すると
\begin{align}
z^{\prime}&\simeq e^{\tau^{\prime}+i\sigma}\\
\tau^{\prime}&=\tau-a
\end{align}
となる。従って、演算子は時間並進の演算子である。同様な議論を
\begin{align}
iL_0=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\left(iz\right)T(z)
\end{align}
に対して行うことができる。は微小変換
\begin{align}
z^{\prime}&\simeq e^{\tau+i\sigma^{\prime}}\\
\sigma^{\prime}&=\sigma-b
\end{align}
の生成子である（を微小量とした）。
状態-演算子対応
開弦について次式が成り立つ
\begin{align}
X^{\mu}(z,\bar{z})&=\hat{x}^{\mu}-i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)\nonumber\\
&\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\label{eq19}
\end{align}
実軸上（）では
\begin{align}
X^{\mu}(x,x)&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\
&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}
+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\
&\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n}\nonumber\\
&=A_0^{\mu}+A_-^{\mu}+A_+^{\mu}
\end{align}
となる。ただし
\begin{align}
A_0^{\mu}&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}\\
A_-^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\\
A_+^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n}
\end{align}
と置いた。ここで
\begin{align}
\alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\
\hat{p}^{\mu}|0\rangle&=0
\end{align}
であるから、と
は消滅演算子である。この事実を用いると
\begin{align}
:e^{ip\cdot X(x,x)}:&=:e^{ip\cdot A_0+ip\cdot A_-+ip\cdot A_+}:\nonumber\\
&=:e^{ip\cdot A_0}e^{ip\cdot A_-}e^{ip\cdot A_+}:\nonumber\\
&=e^{ip\cdot A_+}:e^{ip\cdot A_0}:e^{ip\cdot A_-}\nonumber\\
&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-}
\end{align}
が成り立つ。これがテキストの式(2.103)である。上式をに作用させると
\begin{align}
:e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-}|0\rangle\nonumber\\
&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}|0\rangle\nonumber\\
&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle
\end{align}
さらに、とすると
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow0}:e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle\nonumber\\
&=|p\rangle\label{eq27}
\end{align}
となる。これがテキストの式(2.104)である。
式(\ref{eq19})をで偏微分すると
\begin{align}
\partial X^{\mu}(z)=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\alpha^{\mu}_nz^{-n-1}
\end{align}
を得る。右辺から依存性はなくなるので、左辺の引数を
だけにした。これを真空状態
に作用させると
\begin{align}
\partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\left(
\cdots
+\alpha^{\mu}_{-2}z
+\alpha^{\mu}_{-1}
+\frac{\alpha^{\mu}_{0}}{z}
+\frac{\alpha^{\mu}_{1}}{z^2}
+\cdots
\right)|0\rangle
\end{align}
となる。ここで
\begin{align}
\alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\
\alpha^{\mu}_0|0\rangle&\propto\hat{p}^{\mu}|0\rangle=0\\
\end{align}
であるから
\begin{align}
\lim_{z\rightarrow0}\partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}
\alpha^{\mu}_{-1}|0\rangle
\end{align}
を得る。同じような計算を繰り返すと
\begin{align}
\lim_{z\rightarrow0}\partial^2 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\alpha^{\mu}_{-2}|0\rangle\\
\lim_{z\rightarrow0}\partial^3 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(2!)\alpha^{\mu}_{-3}|0\rangle\\
\lim_{z\rightarrow0}\partial^4 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(3!)\alpha^{\mu}_{-4}|0\rangle
\end{align}
などを得る。これを一般化すると
\begin{align}
\lim_{z\rightarrow0}\partial^m X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(m-1)!\alpha^{\mu}_{-m}|0\rangle
\end{align}
となる。つまり、状態を演算子
に対応させることができる。ゴースト場についても
\begin{align}
c(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n+1}\\
b(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n-2}
\end{align}
を使うと
\begin{align}
\lim_{z\rightarrow0}\partial^{n+1}c(z)|0\rangle&=(n+1)!c_{-n}|0\rangle\\
\lim_{z\rightarrow0}\partial^{n-2}b(z)|0\rangle&=(n-2)!b_{-n}|0\rangle
\end{align}
を得るので、状態は演算子
に、状態
は演算子
に対応する。これらがテキストの式(2.107)に相当する。テキストの式(2.62)は
\begin{align}
\alpha_{-n_1}^{\mu_1}\alpha_{-n_2}^{\mu_2}\cdots c_{-m_1}c_{-m_2}\cdots b_{-l_1}b_{-l_2}\cdots|p\rangle
\end{align}
であった（）。ここに、上で議論した状態と演算子の対応関係と式(\ref{eq27})使うと
\begin{align}
&\lim_{z\rightarrow0,x\rightarrow0}
\partial^{n_1} X^{\mu_1}(z)\partial^{n_2} X^{\mu_2}(z)
\cdots
\partial^{m_1+1}c(z)\partial^{m_2+1}c(z)
\nonumber\\
&\hspace{3cm}
\cdots\partial^{l_1-2}b(z)\partial^{l_2-2}b(z)\cdots
:e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle
\end{align}
を得る。これがテキストの式(2.108)である。
