一歩踏み込む素粒子物理学：p34の式(2.123)の導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p34の式(2.123)までの導出を行う。

の計算

　Neumann境界条件の開弦の場合、テキストの式(2.109)より

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})&=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right)\nonumber\\ &\hspace{3cm}+:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}): \end{align}

となる。従って

\begin{align} \langle X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle&= X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})-:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &= -\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2}\right) \end{align}

である。両辺をで微分すると

\begin{align} \langle \partial_zX^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle= -\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)\label{eq3} \end{align}

となる。

の計算

\begin{align} T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}) &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial_zX_{\nu}(z)\partial_zX^{\nu}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\Bigl\{ :\partial_zX_{\nu}(z)\partial_zX^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}):\Bigr.\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\Bigl.\langle\partial_zX_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial_zX^{\nu}(z)\Bigr.\nonumber\\ \Bigl. &\hspace{2cm}+\Bigl.\langle\partial_zX^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial_zX_{\nu}(z) \Bigr\} \end{align}

上式右辺第1項は発散を含まない項である。従って、式(\ref{eq3})を上式に代入し発散項だけを残すと

\begin{align} T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})&\sim \left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)\partial_zX^{\mu}(z)\nonumber\\ &=\langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle \label{eq5} \end{align}

を得る。近傍でを展開すると

\begin{align} \partial_zX^{\mu}(z)=\partial_wX^{\mu}(w)+\partial_w^2X^{\mu}(w)\cdot(z-w)+O\left((z-w)^2\right) \end{align}

式(\ref{eq5})に代入すると

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_wX^{\mu}(w)}{z-w} \end{align}

を得る。一方、近傍でを展開し同様な計算を行うと

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}} \end{align}

となる。これら2式から

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\label{eq9} \end{align}

を得る。第1項は近傍の発散項、第2項は近傍の発散項である。

の計算

　BRSTカレントはここで見たように

\begin{align} j_B(z)&=:c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):\\ \tilde{j}_B(z)&=:c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z) \end{align}

で与えられる。前者は改善前、後者は改善後のBRSTカレントである。改善後のBRSTカレントはの場として振る舞うのであった。このとき、式(\ref{eq9})を使い、を計算すると

\begin{align} j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &\sim c(z)\langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\nonumber\\ &=\frac{c(z)\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{c(z)\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\nonumber\\ &\simeq \frac{c(w)\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{c(\bar{w})\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\label{eq12} \end{align}

を得る。はゴースト場と独立であるから、に対しても同じ結果を得る。これがテキストの式(2.118)である。

の計算

　BRST電荷は

\begin{align} Q_B=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}j_B(z) \end{align}

で与えられた。は原点を含む反時計回りの円である。これを使うと

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}] &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}[j_B(z),X^{\mu}(w,\bar{w})]\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}X^{\mu}(w,\bar{w})j_B(z)\label{eq14} \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円と、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}] &=\oint_{C_w+C_{\bar{w}}}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})] \end{align}

となる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq12})を代入すると

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}]=c(w)\partial_wX^{\mu}(w,\bar{w})+c(\bar{w})\partial_wX^{\mu}(w,\bar{w}) \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.119)である。

の計算

\begin{align} j_B(z)c(w) &=\Bigl\{ :c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z): \Bigr\}c(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z):c(w)+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):c(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z)c(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\langle c(z)c(w)\rangle T^{\rm mat}(z)+c(z)\langle T^{\rm mat}(z)c(w)\rangle\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z)c(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{1}{2}\langle c(z)c(w)\rangle T^{\rm gh}(z)+\frac{1}{2}c(z)\langle T^{\rm gh}(z)c(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)c(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm mat}(z)c(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm gh}(z)c(w)\rangle&=-\frac{c(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_wc(w)}{z-w} \end{align}

である。発散する項だけ残すと

\begin{align} j_B(z)c(w)\sim -\frac{1}{2}\frac{c(z)c(w)}{(z-w)^2}+\frac{1}{2}\frac{c(z)\partial_wc(w)}{z-w}\label{eq21} \end{align}

となる。ここでを近傍で展開する。

\begin{align} c(z)=c(w)+\partial_wc(w)\cdot(z-w)+O\left((z-w)^2\right) \end{align}

これを式(\ref{eq21})を代入して

\begin{align} j_B(z)c(w)&\sim -\frac{1}{2}\frac{c^2(w)+\partial_wc(w)\cdot c(w)(z-w)+\cdots}{(z-w)^2}\nonumber\\ &+\frac{\left(c(w)+\partial_wc(w)\cdot(z-w)+\cdots\right)\partial_wc(w)}{z-w}\nonumber\\ &\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w}\label{eq23} \end{align}

を得る。ここでを用いた。これがテキストの式(2.120)である。改善されたカレントの場合

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)=j_B(z)c(w)+\frac{3}{2}\partial^2_zc(z)c(w) \end{align}

となるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w} +\frac{3}{2}\partial^2_z\langle c(z)c(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)c(w)\rangle=0 \end{align}

であるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w} \end{align}

となる。式(\ref{eq23})と同じ結果である。

の計算

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\{j_B(z),c(w)\}\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)c(w)+\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}c(w)j_B(z) \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} =\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)c(w)] \end{align}

と変形できる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq23})を代入すると

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} =c(w)\partial_wc(w) \end{align}

を得る。

の計算

\begin{align} j_B(z)b(w)&= \Bigl\{ :c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z): \Bigr\}b(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z):b(w)+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):b(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z)b(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\langle c(z)b(w)\rangle T^{\rm mat}(z)+c(z)\langle T^{\rm mat}(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z)b(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{1}{2}\langle c(z)b(w)\rangle T^{\rm gh}(z)+\frac{1}{2}c(z)\langle T^{\rm gh}(z)b(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)b(w)\rangle&=\frac{1}{z-w}\\ \langle T^{\rm mat}(z)b(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm gh}(z)b(w)\rangle&=\frac{2b(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_wb(w)}{z-w} \end{align}

である。発散する項だけを残すと

\begin{align} j_B(z)b(w)\sim \frac{T^{\rm mat}(z)}{z-w}+\frac{1}{2}\frac{T^{\rm gh}(z)}{z-w}+\frac{c(z)b(w)}{(z-w)^2}+\frac{1}{2}\frac{c(z)\partial_wb(w)}{z-w}\label{eq31} \end{align}

となる。ここでとを近傍で展開する。

\begin{align} c(z)&=c(w)+\partial_wc(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ T^{\rm mat}(z)&=T^{\rm mat}(w)+\partial_wT^{\rm mat}(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ T^{\rm gh}(z)&=T^{\rm gh}(w)+\partial_wT^{\rm gh}(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ \end{align}

これらを式(\ref{eq31})に代入し整理すると

\begin{align} j_B(z)b(w) &\sim \frac{T^{\rm mat}(w)+T^{\rm gh}(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}\nonumber\\ &= \frac{T(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}\label{eq35}\\ T(w)&=T^{\rm mat}(w)+T^{\rm gh}(w) \end{align}

を得る。

の計算

\begin{align} \tilde{j}_B(z)=j_B(z)+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z) \end{align}

であるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)b(w)=j_B(z)b(w)+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z)b(w) \end{align}

となる。右辺第1項は既に計算したから第2項を計算する。

\begin{align} \frac{3}{2}\partial_z^2c(z)b(w)&=\frac{3}{2}:\partial_z^2c(z)b(w):+\frac{3}{2}\partial_z^2\langle c(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &\sim\frac{3}{2}\partial_z^2\langle c(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &=\frac{3}{(z-w)^3} \end{align}

従って

\begin{align} \tilde{j}_B(z)b(w)\sim \frac{T(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}+\frac{3}{(z-w)^3} \end{align}

となる。

の計算

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\{j_B(z),b(w)\}\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)b(w)+\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}b(w)j_B(z) \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} =\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)b(w)] \end{align}

と変形できる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq35})を代入すると

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} =T(w) \end{align}

を得る。

\begin{align} Q_B=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\tilde{j}_B(z) \end{align}

のときも同じ結果を得る。

の計算

　を振動子で展開すると

\begin{align} c(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n+1} \end{align}

となる。これをに代入する。左辺は

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}w^{-n+1}\{Q_B,c_n\}\label{eq46} \end{align}

となる。一方、右辺は

\begin{align} c(w)\partial_wc(w)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nw^{-n+1}\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_m(-m+1)w^{-m}\nonumber\\ &=\sum_{n,m\in\mathbb{Z}}c_nc_m(-m+1)w^{-(n+m)+1}\nonumber\\ &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}w^{-n+1}\left[ \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\} \right]\label{eq47} \end{align}

となる。式(\ref{eq46})(\ref{eq47})から

\begin{align} \{Q_B,c_n\}&= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\}\nonumber\\ &=-\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}(n+m)+\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m} \end{align}

を得る。右辺第2項をと置くと

\begin{align} S_n= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m} \end{align}

とし、の和をの和に取り直すと

\begin{align} S_n&= \sum_{l\in\mathbb{Z}}c_{l+n}c_{-l}\nonumber\\ &= -\sum_{l\in\mathbb{Z}}c_{-l}c_{l+n}\nonumber\\ &=-S_n \end{align}

となるからである。以上より

\begin{align} \{Q_B,c_n\}&= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\}\nonumber\\ &=-\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}(n+m) \end{align}

が成り立つ。

の計算

　を振動子で展開すると

\begin{align} b(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}b_nz^{-n-2} \end{align}

同様に、をで展開すると

\begin{align} T(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}L_nz^{-n-2} \end{align}

となる。これらをに代入すると

\begin{align} \sum_{n\in\mathbb{Z}}\{Q_B,b_n\}z^{-n-2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}L_nz^{-n-2} \end{align}

を得る。これより

\begin{align} \{Q_B,b_n\}=L_n \end{align}

となる。

一歩踏み込む素粒子物理学：p33の式(2.117)の導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p33の式(2.117)を導出する。

準備

　テキストの式(A.62)(A.63)でBRST電荷とBRSTカレントは

\begin{align} Q_B&=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}j_B(\rho)\label{eq1}\\ j_B(\rho)&=\;:c(\rho)T^{\rm mat}(\rho):+\frac{1}{2}:c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\label{eq2} \end{align}

で与えられた。また、共形変換

\begin{align} z=e^{\rho}\label{eq3} \end{align}

の下でのエネルギー運動量テンソルの変換式は、テキストの式(2.91)で与えられた。

\begin{align} T(\rho)&=\left(\frac{\partial z}{\partial\rho}\right)^2T^{\prime}(z)+\frac{c}{12}\{z;\rho\}\\ \{z;\rho\}&=\frac{z^{(3)}}{z^{(1)}}-\frac{3}{2}\left(\frac{z^{(2)}}{z^{(1)}}\right)^2 \end{align}

ここで、はの中心電荷、はSchwarz微分である。この式の導出は、ここで行った。また、表記上の注意として、はの微分ではなく、新しい座標系での場を表す。さらに、はをでn回微分したものである。以降の表記も全て同じである。

物質場からの寄与

　最初に、式(\ref{eq2})のを考える。の中心電荷はであるから、の変換式は次式で与えられる。

\begin{align} T^{\rm mat}(\rho)=z^2T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13}{12} \end{align}

ここで、ゴースト場は

\begin{align} c^{\prime}(z)&=zc(\rho)\label{eq8} \end{align}

と変換されるから

\begin{align} c(\rho)T^{\rm mat}(\rho) &=\frac{c^{\prime}(z)}{z}\left(z^2T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13}{12}\right)\nonumber\\ &=zc^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13c^{\prime}(z)}{12z} \end{align}

となる。ゴースト場と物質場の積は同一点で発散しないから、以下のように素直に正規順序を取ることできる。

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm mat}(\rho):\; =z:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z):-\frac{13c^{\prime}(z)}{12z}\label{eq9} \end{align}

ゴースト場からの寄与

　ゴースト場の場合は注意が必要である。最初に次式を考える。

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\;&=\lim_{\epsilon\rightarrow0}:c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho):\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\left\{ c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)-\Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s \right\}\label{eq11} \end{align}

ここで、、はの演算子積展開（OPE）の特異部分を表す。以下のOPEは全て動径順序積として理解する。さて、ゴースト場とエネルギー運動量テンソルのOPEの特異部分はテキストの式(2.82)で与えられた。

\begin{align} \Bigl[T^{\rm gh}(w)c(w^{\prime})\Bigr]_s\sim-\frac{c(w^{\prime})}{(w-w^{\prime})^2}+\frac{\partial c(w^{\prime})}{w-w^{\prime}} \end{align}

上式の導出はここで行った。はGrassmann偶、はGrassmann奇であるから両者の順序を入れ替えても負符号は付かず

\begin{align} \Bigl[c(w^{\prime})T^{\rm gh}(w)\Bigr]_s\sim-\frac{c(w^{\prime})}{(w-w^{\prime})^2}+\frac{\partial c(w^{\prime})}{w-w^{\prime}} \end{align}

と書ける。と置くと

\begin{align} \Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s &\sim-\frac{c(\rho+\epsilon)}{\epsilon^2}-\frac{\partial_{\rho}c(\rho+\epsilon)}{\epsilon}\nonumber\\ &\sim-\frac{c(\rho)}{\epsilon^2}-\frac{2\partial_{\rho}c(\rho)}{\epsilon} \end{align}

と書ける。上式を共形変換する。式(\ref{eq8})とを使って

\begin{align} \Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s \sim -\frac{c^{\prime}(z)}{\epsilon^2z}-\frac{2}{\epsilon}\left(\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\label{eq13} \end{align}

となる。これが式(\ref{eq11})の右辺第2項である。次に式(\ref{eq11})の右辺第1項を計算する。計算を進めるため次を定義する。

\begin{align} z_{\epsilon}&=e^{\rho+\epsilon}=ze^{\epsilon}\\ %\delta&=z_{\epsilon}-z=z(e^{\epsilon}-1) \end{align}

これを使うと、場は

\begin{align} c(\rho+\epsilon)=\frac{c^{\prime}(z_{\epsilon})}{z_{\epsilon}}\label{eq15} \end{align}

と変換される。の中心電荷はであるから、は

\begin{align} T^{\rm gh}(\rho)=z^2T^{\prime\rm gh}(z)+\frac{13}{12}\label{eq16} \end{align}

と変換される。式(\ref{eq15})(\ref{eq16})を使うと

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)=\frac{z^2}{z_{\epsilon}}c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)+\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}} \end{align}

となる。ここで、右辺第1項のを計算すると

\begin{align} c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)=\;:c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):+\Bigl[c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)\Bigr]_s \end{align}

上式の右辺第2項は、を定義すると

\begin{align} \Bigl[c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)\Bigr]_s &=-\frac{c^{\prime}(z_{\epsilon})}{\delta^2}-\frac{\partial_zc^{\prime}(z_{\epsilon})}{\delta}\nonumber\\ &=-\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}-\frac{2\partial_zc^{\prime}(z)}{\delta} \end{align}

と書けるから

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)&=\frac{z^2}{z_{\epsilon}} :c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):\nonumber\\ &\hspace{1cm}-\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}-\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{2\partial_zc^{\prime}(z)}{\delta} +\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}}\label{eq20} \end{align}

と変形できる。ここで、各量を微小量で展開すると

\begin{align} \frac{1}{\delta} &=\frac{1}{z\epsilon}\left(1+\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^2}{3!}+O(\epsilon^3)\right)^{-1}\nonumber\\ &=\frac{1}{z\epsilon}-\frac{1}{2z}+\frac{\epsilon}{12z}+O(\epsilon^3)\label{eq21}\\ \frac{1}{\delta^2} &=\frac{1}{(z\epsilon)^2}\left(1+\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^2}{3!}+O(\epsilon^3)\right)^{-2}\nonumber\\ &=\frac{1}{(z\epsilon)^2}-\frac{1}{z^2\epsilon}+\frac{5}{12z^2}+O(\epsilon)\label{eq22} \end{align}

となる。ただし

\begin{align} (1+x)^{-1}&=1-x+x^2-x^3+O(x^4)\\ (1+x)^{-2}&=1-2x+3x^2-4x^3+O(x^4) \end{align}

を用いた。式(\ref{eq21})(\ref{eq22})と

\begin{align} \frac{z^2}{z_{\epsilon}} &=ze^{-\epsilon}\nonumber\\ &=z\left(1-\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2!}+O(\epsilon^3)\right) \end{align}

を使うと

\begin{align} -\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}&=-\frac{c^{\prime}(z)}{z\epsilon^2}+\frac{2c^{\prime}(z)}{z\epsilon}-\frac{23c^{\prime}(z)}{12z}+O(\epsilon)\\ -\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{2\partial c^{\prime}(z)}{\delta}&=-\frac{2\partial c^{\prime}(z)}{\epsilon}+3\partial c^{\prime}(z) \end{align}

を得る。これらを式(\ref{eq20})に代入すると

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)&=\frac{z^2}{z_{\epsilon}} :c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):\nonumber\\ &\hspace{1cm}-\frac{c^{\prime}(z)}{\epsilon^2z}-\frac{2}{\epsilon}\left( \partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \right)\nonumber\\ &\hspace{1cm}+3\partial c^{\prime}(z)-\frac{23c^{\prime}(z)}{12z}+\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}}\label{eq28} \end{align}

を得る。これが式(\ref{eq11})の第1項である。式(\ref{eq13})と(\ref{eq28})を式(\ref{eq11})に代入すると

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\;=z:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm gh}(z):+3\partial c^{\prime}(z)-\frac{5c^{\prime}(z)}{6z}\label{eq29} \end{align}

を得る。

BRSTカレントの改善

　式(\ref{eq9})と(\ref{eq29})から

\begin{align} j_B(\rho)&=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\left(\partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\label{eq30}\\ j^{\prime}_B(z)&=\;:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm gh}(z): \end{align}

を得る。ここで

\begin{align} \partial_{\rho}c(\rho)&=z\partial_z\left(\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\nonumber\\ &=\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \end{align}

もう一度微分して

\begin{align} \partial^2_{\rho}c(\rho)=z\partial^2_zc^{\prime}(z)-\left(\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right) \end{align}

を得る。これより

\begin{align} \partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}=z\partial^2_zc^{\prime}(z)-\partial^2_{\rho}c(\rho) \end{align}

これを式(\ref{eq30})に代入して

\begin{align} j_B(\rho)+\frac{3}{2}\partial^2_{\rho}c(\rho)&=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}z\partial^2_zc^{\prime}(z)\nonumber\\ &=z\left(j^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\partial^2_zc^{\prime}(z)\right) \end{align}

を得る。ここで、改善されたBRSTカレント

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)&=j_B(\rho)+\frac{3}{2}\partial^2_{\rho}c(\rho)\\ \tilde{j}^{\prime}_B(z)&=j^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\partial^2_zc^{\prime}(z) \end{align}

を導入すると

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z)\label{eq39} \end{align}

と書くことできる。ここでいう改善とは、閉曲線積分で得られるBRST電荷を変えない全微分項を加えることにより、局所カレントの共形変換則を斉次な形に整えることを意味する。式(\ref{eq1})の積分範囲は共形変換により、原点を含む反時計回りの半径の円（）となる。積分測度はと変換するから

\begin{align} \int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}\tilde{j}_B(\rho)=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\tilde{j}_B^{\prime}(z)\label{eq40} \end{align}

が成り立つ。左辺に含まれる次の積分を考える。

\begin{align} \int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}d\rho\partial_{\rho}^2c(\rho)&= \partial_{\rho}c(\tau+i\pi)-\partial_{\rho}c(\tau-i\pi)\nonumber\\ &=0 \end{align}

上式は、の周期性によりゼロとなる。一方、式(\ref{eq40})の右辺に含まれる次の積分を考える。

\begin{align} \oint_Cdz\partial^2_zc^{\prime}(z)&=\oint_Cd\left(\partial_zc^{\prime}(z)\right)\nonumber\\ &=0 \end{align}

上式は、閉曲線上でが一価であることからゼロとなる。従って、式(\ref{eq40})の両辺はBRST電荷に等しくなる。

\begin{align} Q_B&=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}\tilde{j}_B(\rho)=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}j_B(\rho)\\ Q_B&=\oint_C\frac{dz}{2\pi i} \tilde{j}_B^{\prime}(z)=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}j_B(z) \end{align}

について

　最後に、同じBRST電荷を導くカレントの中から、カレント自身が余分な非斉次項なしに共形変換する代表を選ぶ場合、その共形ウェイトは でなければならないことを示す。

　が重みのプライマリー場であるとき、は共形変換(\ref{eq3})の下で以下のように変換される。

\begin{align} j^{\prime}_B(z)=\left(\frac{d\rho}{dz}\right)^hj_B(\rho) \end{align}

積分測度は

\begin{align} dz=\frac{dz}{d\rho}d\rho \end{align}

であるから

\begin{align} dzj^{\prime}_B(z)=\left(\frac{d\rho}{dz}\right)^{h-1}d\rho j_B(\rho)\label{eq47} \end{align}

となる。 が共形不変となるには

\begin{align} dzj^{\prime}_B(z)=d\rho j_B(\rho) \end{align}

でなければならない。従って、式(\ref{eq47})よりとなる。
　がのプライマリー場であるとき共形変換(\ref{eq3})の下で

\begin{align} j_B(\rho)=zj^{\prime}_B(z) \end{align}

となる。しかし、式(\ref{eq30})で見たように、実際には

\begin{align} j_B(\rho)=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\left( \partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \right) \end{align}

となる。しかし、改善されたBRSTカレントを使うと式(\ref{eq39})で見たように

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z) \end{align}

となり、のプライマリー場と同じ変換となることが分かる。

まとめ

　式(\ref{eq30})から分かるように、全微分項を含まないBRSTカレント は、写像に対して非斉次項を伴って変換する。一方

\begin{align} \tilde{j}_B=\tilde{j}^{\prime}_B+\frac{3}{2}\partial^2c \end{align}

と改善すると

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z) \end{align}

となる。これは、がこの写像に対し重み1の場として変換することを示している。

一歩踏み込む素粒子物理学：p33の(2.115)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p33の式(2.115)までの式を導出する。

の計算

　開弦のときは次式で与えられた（テキストの式(2.50)）。

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z}) &=\hat{x}^{\mu}-i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\label{eq1} \end{align}

右辺第3項を2つの和に分けると

\begin{align} i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right) &= i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\nonumber\\ &+ i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-n}}{-n}\left(z^{n}+\bar{z}^{n}\right) \end{align}

となる。右辺第1項のは消滅演算子、第2項のは生成演算子である。また、は消滅演算子、は生成演算子である。に式(\ref{eq1})を代入し、演算子の順序が消滅・生成の順になるものだけを明示すると

\begin{align} &X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) =-i\alpha^{\prime}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)\hat{p}^{\mu}\hat{x}^{\nu}\nonumber\\ &+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{m\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-m}}{-n}\left(z^{m}+\bar{z}^{m}\right) +\cdots \end{align}

となる。交換関係

\begin{align} [\alpha_n^{\mu},\alpha_m^{\nu}]&=n\delta_{n+m,0}\eta^{\mu\nu}\\ [\hat{x}^{\mu},\hat{p}^{\nu}]&=i\eta^{\mu\nu} \end{align}

を使うと

\begin{align} &X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) =-i\alpha^{\prime}\hat{x}^{\nu}\hat{p}^{\mu}\ln{z\bar{z}}-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &+ i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{m\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-m}}{-n}\left(z^{m}+\bar{z}^{m}\right) i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\nonumber\\ &+\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\sum_{n=1}\frac{1}{n}\left\{ \left(\frac{w}{z}\right)^n+\left(\frac{w}{\bar{z}}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{z}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{\bar{z}}\right)^n \right\} +\cdots\nonumber\\ &=\,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &+\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\sum_{n=1}\frac{1}{n}\left\{ \left(\frac{w}{z}\right)^n+\left(\frac{w}{\bar{z}}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{z}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{\bar{z}}\right)^n \right\} \end{align}

と変形できる。は正規順序積を表す。ここで

\begin{align} \ln{(1-x)}=-\sum_{n=1}\frac{x^n}{n} \end{align}

を使うと

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) &=\,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{\frac{|z-w|^2}{z\bar{z}}}+\ln{\frac{|z-\bar{w}|^2}{z\bar{z}}} \right)\nonumber\\ &= \,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right)\label{eq8} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.109)である。閉弦のときも同様な計算を繰り返せばテキストの式(2.110)を得る。

の計算

　開弦のとき、式(\ref{eq8})より

\begin{align} \langle X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle&= X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})- :X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right) \end{align}

が成り立つ。これをで微分すると

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\label{eq10} \right) \end{align}

となる。はだけの関数になるので、と書いた。閉弦の場合は

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu} \frac{1}{z-w}\label{eq11} \end{align}

となる。

の計算

　開弦の場合、と置くと、式(\ref{eq10})より

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(x,x)\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu} }{z-x}\label{eq12} \end{align}

閉弦のときは

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(x,x)\rangle=-\frac{1}{2}\frac{\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu} }{z-x} \end{align}

となる。後者には係数が付くことに注意する。

の計算

　Wickの定理を使うと

\begin{align} &T(z)X^{\mu}(w,\bar{w})=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X_{\nu}(z)\partial X^{\nu}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X_{\nu}(z)\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X^{\nu}(z) -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X_{\nu}(z)\nonumber\\ &\sim-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X^{\nu}(z) -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X_{\nu}(z) \end{align}

と書ける。開弦の場合は式(\ref{eq10})を使い

\begin{align} T(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\sim \frac{\partial X^{\mu}(z)}{z-w}+\frac{\partial X^{\mu}(z)}{z-\bar{w}}\label{eq15} \end{align}

となる。

の計算

　式(\ref{eq15})でと置くと

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)\sim \frac{2\partial X^{\mu}(z)}{z-x} \end{align}

を近傍で展開すると

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)&\sim \frac{2\partial X^{\mu}(x)+2\partial^2X^{\mu}(x)(z-x)+O\left((z-x)^2\right)}{z-x}\nonumber\\ &\sim\frac{2\partial X^{\mu}(x)}{z-x}\label{eq17} \end{align}

となる。さて、とは次式で与えられた。

\begin{align} z&=e^{\tau+i\sigma}\\ \bar{z}&=e^{\tau-i\sigma} \end{align}

いま

\begin{align} x&=e^{\tau}\cos{\sigma}\\ y&=e^{\tau}\sin{\sigma} \end{align}

と置くと

\begin{align} \frac{\partial}{\partial\sigma}=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y} \end{align}

である。開弦のときのNeumann境界条件は

\begin{align} \partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,\sigma)|_{\sigma=0\,{\rm or}\,\pi}=0 \end{align}

であった。のときとなるから

\begin{align} \partial_{\sigma} X^{\mu}=x\partial_yX^{\mu}|_{y=0}=0 \end{align}

である。のときであるから

\begin{align} \partial_yX^{\mu}|_{y=0}=0 \end{align}

を得る。つまり、実軸上で上式が成り立つ。ここで

\begin{align} \partial_z=\frac{1}{2}\left( \partial_x-i\partial_y \right) \end{align}

が成り立つから、実軸上を考えると

\begin{align} \partial X^{\mu}(x)=\partial_zX^{\mu}(x)=\frac{1}{2}\partial_xX(x)\label{eq27} \end{align}

となる。これを式(\ref{eq17})に代入すると

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)\sim\frac{\partial_x X^{\mu}(x)}{z-x} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.112)である。

の計算

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,&= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z): \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\nonumber\\ &= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} :\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\label{eq29} \end{align}

を考える。和の中の項にWickの定理を使うと

\begin{align} &:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\nonumber\\ &\hspace{1cm}=\,:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:+A_1+A_2\nonumber\\ &\hspace{1cm}\sim A_1+A_2\label{eq30} \end{align}

となる。ここでは1回の縮約項、は2回の縮約項を表す。正規順序積は発散項を含まないので以降では式(\ref{eq30})を考える。最初にを計算する。

\begin{align} A_1&=\sum_{i=1}^n\langle\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n\langle\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle:\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}: \end{align}

ここで、はを含まないことを意味する。式(\ref{eq12})を使うと

\begin{align} A_1&=\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x} :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip_{\mu}}{z-x} :\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &=2\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x} :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &=2n\frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x}:\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X\right)^{n-1}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq29})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A_1 &=\frac{2ip_{\mu}}{z-x}\sum_{n=1}\frac{1}{(n-1)!}:\partial X^{\mu}\left(ip\cdot X\right)^{n-1}:\nonumber\\ &=\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\partial X^{\mu}(z)e^{ip\cdot X(x,x)}: \end{align}

となる。ここでを近傍で展開すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A_1 &\simeq\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\left(\partial X^{\mu}(x)+\partial^2X^{\mu}(x)\,(z-x)\right)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &\sim\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\partial X^{\mu}(x)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &=\frac{ip_{\mu}}{z-x}:\partial_xX^{\mu}(x)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &=\frac{1}{z-x}\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:\label{eq34} \end{align}

を得る。右辺2行目から3行目への変形で式(\ref{eq27})を用いた。次に、を計算する。とペアを組むが通り、とペアを組むが通り考えられるから

\begin{align} A_2&=n(n-1)\langle\partial X^{\mu}(z)ip\cdot X(x,x)\rangle\langle\partial X_{\mu}(z)ip\cdot X(x,x)\rangle\nonumber\\ &\hspace{3cm}\times:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}:\nonumber\\ &=n(n-1)\frac{-i\alpha^{\prime}p^{\mu}}{z-x}\frac{-i\alpha^{\prime}p_{\mu}}{z-x}:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq27})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}A_2&= \frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}\sum_{n=2}\frac{1}{(n-2)!}:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}:\nonumber\\ &= \frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}:e^{ip\cdot X(x,x)}:\label{eq36} \end{align}

となる。式(\ref{eq34})(\ref{eq36})から

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,\sim \frac{1}{z-x}\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:+\frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}:e^{ip\cdot X(x,x)}: \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.113)である。

の計算

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,&= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z): \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\nonumber\\ &= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} :\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\label{eq38} \end{align}

を考える。和の中の項にWickの定理を使うと

\begin{align} &:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\nonumber\\ &\hspace{1cm}=\,:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:+B_1+B_2\nonumber\\ &\hspace{1cm}\sim B_1+B_2\label{eq39} \end{align}

となる。ここでは1回の縮約項、は2回の縮約項を表す。正規順序積は発散項を含まないので以降では式(\ref{eq39})を考える。最初にを計算する。

\begin{align} B_1&=\sum_{i=1}^n\langle\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n\langle\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle:\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}: \end{align}

式(\ref{eq10})を使うと

\begin{align} B_1=-i\alpha^{\prime}p_{\mu}n\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}} \right):\partial X^{\mu}(z)\left(ip\cdot X\right)^{n-1}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq38})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}} \sum_{n=0} \frac{1}{n!} B_1=ip_{\mu} \left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right) :\partial X^{\mu}(z)e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}: \end{align}

となる。ここで近傍を考えると、の寄与は無視できるので

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}} \sum_{n=0} \frac{1}{n!} B_1 &\sim ip_{\mu} \frac{1}{z-w} :\partial X^{\mu}(w)e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\nonumber\\ &= \frac{1}{z-w} \partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\label{eq43} \end{align}

となる。次に、を計算する。先と同じ計算を繰り返すと

\begin{align} B_2&=n(n-1)\langle\partial X^{\mu}(z)ip\cdot X(w,\bar{w})\rangle\langle\partial X_{\mu}(z)ip\cdot X(w,\bar{w})\rangle\nonumber\\ &\hspace{3cm}\times:\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^{n-2}:\nonumber\\ &=-n(n-1) \left(\frac{\alpha^{\prime}}{2}\right)^2p^2\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}} \right)^2 :\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^{n-2}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq38})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}B_2= \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)^2:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}: \end{align}

となる。近傍を考えて

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}B_2\sim \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\frac{1}{(z-w)^2}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\label{eq46} \end{align}

を得る。式(\ref{eq43})(\ref{eq46})より

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,\sim \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\frac{1}{(z-w)^2}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:+\frac{\partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{z-w} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.114)である。

プライマリー場の重み

　テキストの式(2.84)より、重みのプライマリー場に対し

\begin{align} T(z)\phi(w,\bar{w})\sim\frac{h\phi(w,\bar{w})}{(z-w)^2}+\frac{\partial\phi(w,\bar{w})}{(z-w)}\label{eq48} \end{align}

が成り立つ。上で求めた式を再掲すると

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,&\sim \frac{\alpha^{\prime}p^2:e^{ip\cdot X(x,x)}:}{(z-x)^2}+\frac{\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:}{z-x}\\ T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,&\sim \frac{\frac{\alpha^{\prime}p^2}{4}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{(z-w)^2}+\frac{\partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{z-w} \end{align}

である。上2式を式(\ref{eq48})と比べると、場の重みは、場の重みはであることが分かる。

一歩踏み込む素粒子物理学：p32の(2.108)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p32の式(2.108)までの式を導出する。

の計算

　重みのプライマリー場はの多項式で書くことができる。

\begin{align} \phi(z)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}\phi_nz^{-n-h}\label{eq1} \end{align}

この式の両辺にをかけ、原点を含む経路で複素積分を実行すれば次式を得る。

\begin{align} \phi_m=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\phi(z)z^{h-1+m} \end{align}

これと、先に求めたVirasoro演算子

\begin{align} L_n=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1}\label{eq3} \end{align}

との間の交換関係を計算する。

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=[\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1},\oint_C\frac{dw}{2\pi i}\phi(w)w^{h-1+m}]\nonumber\\ &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_C\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}[T(z),\phi(w)]\nonumber\\ &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}R[T(z)\phi(w)] \end{align}

ここで、はを含み原点を含まない経路、は動径順序積を表す。

\begin{align} R[T(z)\phi(w)]=\frac{h\phi(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial\phi(w)}{z-w} \end{align}

を代入すると

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\left\{ (n+1)w^nh\phi(w)+w^{n+1}\partial\phi(w) \right\}\nonumber\\ &=(n+1)h\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m+n} \phi(w)+ \oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w) \nonumber\\ &=(n+1)h\phi_{m+n}+ \oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w)\label{eq6} \end{align}

を得る。式(\ref{eq1})より

\begin{align} \partial\phi(w)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}(-n-h)\phi_nw^{-n-h-1} \end{align}

であるから、これを式(\ref{eq6})の第2項に代入すると

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=(n+1)h\phi_{m+n}-(m+n+h)\phi_{m+n}\nonumber\\ &=[(h-1)n-m]\phi_{m+n} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.99)である。さて、と置くと

\begin{align} [L_0,\phi_{-n}]=n\phi_{-n} \end{align}

となる。これがテキストの式(2.100)である。

並進変換の生成子

　微小変換

\begin{align} z^{\prime}=z-\epsilon(z) \end{align}

の生成子は次式で与えられた。

\begin{align} Q_{\epsilon}=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\epsilon(z)T(z) \end{align}

従って、式(\ref{eq3})で与えられるVirasoro演算子は微小変換

\begin{align} z^{\prime}&=z-az^{n+1}\nonumber\\ &=(1-az^n)z\nonumber\\ &\simeq e^{-az^n}z \end{align}

の生成子である（は微小量とした）。のとき

\begin{align} z^{\prime}\simeq e^{-a}z \end{align}

ここに、を代入すると

\begin{align} z^{\prime}&\simeq e^{\tau^{\prime}+i\sigma}\\ \tau^{\prime}&=\tau-a \end{align}

となる。従って、演算子は時間並進の演算子である。同様な議論を

\begin{align} iL_0=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\left(iz\right)T(z) \end{align}

に対して行うことができる。は微小変換

\begin{align} z^{\prime}&\simeq e^{\tau+i\sigma^{\prime}}\\ \sigma^{\prime}&=\sigma-b \end{align}

の生成子である（を微小量とした）。

状態-演算子対応

　開弦について次式が成り立つ

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})&=\hat{x}^{\mu}-i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)\nonumber\\ &\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\label{eq19} \end{align}

実軸上（）では

\begin{align} X^{\mu}(x,x)&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\ &=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x} +i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\ &\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n}\nonumber\\ &=A_0^{\mu}+A_-^{\mu}+A_+^{\mu} \end{align}

となる。ただし

\begin{align} A_0^{\mu}&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}\\ A_-^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\\ A_+^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n} \end{align}

と置いた。ここで

\begin{align} \alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\ \hat{p}^{\mu}|0\rangle&=0 \end{align}

であるから、とは消滅演算子である。この事実を用いると

\begin{align} :e^{ip\cdot X(x,x)}:&=:e^{ip\cdot A_0+ip\cdot A_-+ip\cdot A_+}:\nonumber\\ &=:e^{ip\cdot A_0}e^{ip\cdot A_-}e^{ip\cdot A_+}:\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}:e^{ip\cdot A_0}:e^{ip\cdot A_-}\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-} \end{align}

が成り立つ。これがテキストの式(2.103)である。上式をに作用させると

\begin{align} :e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-}|0\rangle\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}|0\rangle\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle \end{align}

さらに、とすると

\begin{align} \lim_{x\rightarrow0}:e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle\nonumber\\ &=|p\rangle\label{eq27} \end{align}

となる。これがテキストの式(2.104)である。
　式(\ref{eq19})をで偏微分すると

\begin{align} \partial X^{\mu}(z)=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\alpha^{\mu}_nz^{-n-1} \end{align}

を得る。右辺から依存性はなくなるので、左辺の引数をだけにした。これを真空状態に作用させると

\begin{align} \partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\left( \cdots +\alpha^{\mu}_{-2}z +\alpha^{\mu}_{-1} +\frac{\alpha^{\mu}_{0}}{z} +\frac{\alpha^{\mu}_{1}}{z^2} +\cdots \right)|0\rangle \end{align}

となる。ここで

\begin{align} \alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\ \alpha^{\mu}_0|0\rangle&\propto\hat{p}^{\mu}|0\rangle=0\\ \end{align}

であるから

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}} \alpha^{\mu}_{-1}|0\rangle \end{align}

を得る。同じような計算を繰り返すと

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^2 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\alpha^{\mu}_{-2}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^3 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(2!)\alpha^{\mu}_{-3}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^4 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(3!)\alpha^{\mu}_{-4}|0\rangle \end{align}

などを得る。これを一般化すると

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^m X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(m-1)!\alpha^{\mu}_{-m}|0\rangle \end{align}

となる。つまり、状態を演算子に対応させることができる。ゴースト場についても

\begin{align} c(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n+1}\\ b(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n-2} \end{align}

を使うと

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^{n+1}c(z)|0\rangle&=(n+1)!c_{-n}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^{n-2}b(z)|0\rangle&=(n-2)!b_{-n}|0\rangle \end{align}

を得るので、状態は演算子に、状態は演算子に対応する。これらがテキストの式(2.107)に相当する。テキストの式(2.62)は

\begin{align} \alpha_{-n_1}^{\mu_1}\alpha_{-n_2}^{\mu_2}\cdots c_{-m_1}c_{-m_2}\cdots b_{-l_1}b_{-l_2}\cdots|p\rangle \end{align}

であった（）。ここに、上で議論した状態と演算子の対応関係と式(\ref{eq27})使うと

\begin{align} &\lim_{z\rightarrow0,x\rightarrow0} \partial^{n_1} X^{\mu_1}(z)\partial^{n_2} X^{\mu_2}(z) \cdots \partial^{m_1+1}c(z)\partial^{m_2+1}c(z) \nonumber\\ &\hspace{3cm} \cdots\partial^{l_1-2}b(z)\partial^{l_2-2}b(z)\cdots :e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.108)である。

共形場理論入門（疋田泰章）：p66からp67までの式導出（再考）

はじめに

　「共形場理論入門（疋田泰章）」（以降、テキストと呼ぶ）p66からp67までの式導出の過程を再考する。以下のページ seiya-kumada.hatenablog.comの「終状態」と「エルミート共役」の項目は正しくないので導き直す。

ユークリッド時間でのエルミート共役

　シュレディンガー表示のエルミート演算子を考える。ハイゼンベルグ表示では

\begin{align} A_H(t)=e^{iHt}A_Se^{-iHt} \end{align}

である。ここで、は系を記述するハミルトニアンである。これのエルミート共役は

\begin{align} A_H^{\dagger}(t)&=\left(e^{iHt}A_Se^{-iHt}\right)^{\dagger}\nonumber\\ &=e^{iHt}A_Se^{-iHt}\nonumber\\ &=A_H(t) \end{align}

となる。ここで、を用いた。いま、としてユークリッド時間に移ると

\begin{align} A_H(\tau)=e^{H\tau}A_Se^{-H\tau} \end{align}

先と同様にエルミート共役を取る。

\begin{align} A_H^{\dagger}(\tau)&=\left(e^{H\tau}A_Se^{-H\tau}\right)^{\dagger}\nonumber\\ &=e^{-H\tau}A_Se^{H\tau}\nonumber\\ &=A_H(-\tau) \end{align}

すなわち、ユークリッド時間におけるエルミート共役は時間反転を伴う。

のエルミート共役

　いま

\begin{align} \zeta&=\tau+i\sigma\\ \bar{\zeta}&=\tau-i\sigma \end{align}

と置き

\begin{align} z&=e^{\zeta}\label{eq7}\\ \bar{z}&=e^{\bar{\zeta}}\label{eq8} \end{align}

を考える。このときプライマリー場は以下のように変換する。

\begin{align} O^{\prime}(\zeta,\bar{\zeta})=\left(\frac{dz}{d\zeta}\right)^h\left(\frac{d\bar{z}}{d\bar{\zeta}}\right)^{\bar{h}}O(z,\bar{z})\label{eq9} \end{align}

上式に式(\ref{eq7})(\ref{eq8})を代入し

\begin{align} O^{\prime}(\zeta,\bar{\zeta})=z^h\bar{z}^{\bar{h}}O(z,\bar{z}) \end{align}

を得る。左辺の引数をに置き換えて

\begin{align} O^{\prime}(\tau,\sigma)=z^h\bar{z}^{\bar{h}}O(z,\bar{z})\label{eq11} \end{align}

とする。これより

\begin{align} O(z,\bar{z})=z^{-h}(\bar{z})^{-\bar{h}}O^{\prime}(\tau,\sigma)\label{eq12} \end{align}

である。はユークリッド時間であるから、のエルミート共役は

\begin{align} O^{\prime\dagger}(\tau,\sigma)=O^{\prime}(-\tau,\sigma)\label{eq13} \end{align}

と書ける。従って、式(\ref{eq12})のエルミート共役は

\begin{align} O^{\dagger}(z,\bar{z})&=\left(z^{-h}(\bar{z})^{-\bar{h}}O^{\prime}(\tau,\sigma)\right)^{\dagger}\nonumber\\ &=(\bar{z})^{-h}z^{-\bar{h}}O^{\prime\dagger}(\tau,\sigma)\nonumber\\ &=(\bar{z})^{-h}z^{-\bar{h}}O^{\prime}(-\tau,\sigma)\label{eq14} \end{align}

となる。さて、のとき

\begin{align} z&\rightarrow e^{-\tau+i\sigma}=\frac{1}{\bar{z}}\stackrel{\mathrm{def}}{=}z^{\prime}\\ \bar{z}&\rightarrow e^{-\tau-i\sigma}=\frac{1}{z}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bar{z}^{\prime} \end{align}

となるから、式(\ref{eq11})より

\begin{align} O^{\prime}(-\tau,\sigma)&=z^{\prime h}\bar{z}^{\prime\bar{h}}O(z^{\prime},\bar{z}^{\prime})\nonumber\\ &=(\bar{z})^{-h}z^{-\bar{h}}O(\frac{1}{\bar{z}},\frac{1}{z})\label{eq17} \end{align}

となる。式(\ref{eq14})に(\ref{eq17})を代入し

\begin{align} O^{\dagger}(z,\bar{z}) =(\bar{z})^{-2h}z^{-2\bar{h}}O(\frac{1}{\bar{z}},\frac{1}{z})\label{eq18} \end{align}

を得る。これがテキストの式(4.25)である。

終状態

　始状態は次式で定義された。

\begin{align} |O\rangle=\lim_{z,\bar{z}\rightarrow0}O(z,\bar{z})|0\rangle \end{align}

終状態は始状態のエルミート共役で定義される。

\begin{align} \langle O| &=\left(|O\rangle\right)^{\dagger}\nonumber\\ &=\left(\lim_{z,\bar{z}\rightarrow0}O(z,\bar{z})|0\rangle\right)^{\dagger}\nonumber\\ &=\lim_{z,\bar{z}\rightarrow0}\langle 0|O^{\dagger}(z,\bar{z}) \end{align}

上式に、式(\ref{eq18})を代入すると

\begin{align} \langle O| &=\lim_{z,\bar{z}\rightarrow0}\langle 0|O^{\dagger}(z,\bar{z})\nonumber\\ &=\lim_{z,\bar{z}\rightarrow0}(\bar{z})^{-2h}z^{-2\bar{h}}\langle 0|O(\frac{1}{\bar{z}},\frac{1}{z}) \end{align}

ここで、と置き直すと

\begin{align} \langle O| &=\lim_{z,\bar{z}\rightarrow\infty}(\bar{z})^{2h}z^{2\bar{h}}\langle 0|O(\bar{z},z) \end{align}

となる。これがテキストの式(4.21)である。

一歩踏み込む素粒子物理学：p29の(2.92)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p29の式(2.92)までの式を導出する。

微小変換の生成子

　微小変換

\begin{align} z^{\prime}=z-\epsilon(z)\label{eq1} \end{align}

に対する生成子は次式で与えられた（ここで議論した）。

\begin{align} Q_{\epsilon}=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cdw\epsilon(w)T(w) \end{align}

はエネルギー運動量テンソル、は微小変化量、は原点を含む積分経路である。このとき、プライマリー場との交換関係は

\begin{align} [Q_{\epsilon},\phi(z)]=\delta_{\epsilon}\phi(z)\label{eq2} \end{align}

となる（ここで導出した）。ここで

\begin{align} \delta_{\epsilon}\phi(z)&\stackrel{\mathrm{def}}{=}\phi^{\prime}(z)-\phi(z)\nonumber\\ &=h\phi(z)\partial\epsilon(z)+\epsilon(z)\partial\phi(z)\label{eq3} \end{align}

と置いた。この交換関係の導出過程を真似して、ととの間の交換関係を計算する。

\begin{align} \lbrack Q_{\epsilon},T(z)\rbrack &=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cdw\epsilon(w)[T(w),T(z)]\nonumber\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cdw\epsilon(w)T(w)T(z)-\frac{1}{2\pi i}\oint_Cdw\epsilon(w)T(z)T(w) \end{align}

ここで設定した積分経路を踏襲して

\begin{align} \lbrack Q_{\epsilon},T(z)\rbrack &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}dw\epsilon(w)T(w)T(z)-\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_2}dw\epsilon(w)T(z)T(w)\nonumber\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_z}dw\epsilon(w)R[T(w)T(z)] \end{align}

を得る。1行目の右辺の第1項では、第2項ではである。 また、は動径順序積を表す。ここで導出した式

\begin{align} R[T(w)T(z)]\sim\frac{c/2}{(w-z)^4}+\frac{2T(z)}{(w-z)^2}+\frac{\partial T(z)}{w-z} \end{align}

を代入すると（は発散項のみ残す記号）

\begin{align} \lbrack Q_{\epsilon},T(z)\rbrack=2\partial\epsilon(z)\cdot T(z)+\epsilon(z)\partial T(z)+\frac{c}{12}\partial^3\epsilon(z)\label{eq7} \end{align}

となる。これがテキストの式(2.90)である。また、式(\ref{eq2})(\ref{eq3})と同様に

\begin{align} \lbrack Q_{\epsilon},T(z)\rbrack&=\delta_{\epsilon}T(z)\label{eq8}\\ \delta_{\epsilon}T(z)&=T^{\prime}(z)-T(z)\label{eq9} \end{align}

が成り立つ。

プライマリー場の変換式の導出

　式(\ref{eq3})から、有限の共形変換の下でのとの間の関係を求める。最初に以下の設定を行う。 新たなパラメータを導入し

\begin{align} f_{t=0}&=z\label{eq10}\\ f_{t=1}&=z^{\prime}\label{eq11}\\ g_{t=0}&=\phi\label{eq12}\\ g_{t=1}&=\phi^{\prime}\label{eq13} \end{align}

となる関数とを導入する。この定義の下で

\begin{align} g_t(f_t)= \begin{cases} \phi(z)\hspace{5mm}(t=0)\\ \phi^{\prime}(z^{\prime})\hspace{2mm}(t=1) \end{cases} \end{align}

となる。式(\ref{eq1})で導入した微小な変化量を用いて

\begin{align} f_{t+dt}=f_t-dt\epsilon(f_t)\label{eq16} \end{align}

と書けるので

\begin{align} \frac{df_t}{dt}=-\epsilon(f_t)\label{eq17} \end{align}

が成り立つ（全微分）。また式(\ref{eq3})を用いて

\begin{align} g_{t+dt}=g_t+dt\left(\epsilon\partial+h\partial\epsilon\right)g_t \end{align}

と書け

\begin{align} \frac{\partial g_{t}}{\partial t}=\left(\epsilon\partial+h\partial\epsilon\right)g_t\label{eq20} \end{align}

が成り立つ（偏微分）。ここでをで全微分して

\begin{align} \frac{dg_t(f_t)}{dt} &=\frac{\partial g_t(f_t)}{\partial t}+\frac{\partial g_t(f_t)}{\partial f_t}\frac{df_t}{dt} \end{align}

ここに、式(\ref{eq17})(\ref{eq20})を代入して

\begin{align} \frac{dg_t(f_t)}{dt} &=\left(\epsilon\partial+h\partial\epsilon\right)g_t-\epsilon\partial g_t\nonumber\\ &=h\partial\epsilon\cdot g_t(f_t)\label{eq22} \end{align}

を得る。これがの満たす式である。一方 、次の量を考える。

\begin{align} J_t\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{\partial f_t}{\partial z}\label{eq23} \end{align}

ここで、である。両辺をで全微分すると

\begin{align} \frac{dJ_t}{dt}&=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f_t}{\partial z}\right)\nonumber\\ &=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{df_t}{dt}\right)\nonumber\\ &=-\frac{\partial}{\partial z}\epsilon(f_t)\nonumber\\ &=-\frac{\partial\epsilon(f_t)}{\partial f_t}\frac{\partial f_t}{\partial z}\nonumber\\ &=-\partial\epsilon\cdot J_t\label{eq24} \end{align}

となる。さて、をで全微分すると

\begin{align} \frac{dJ^{-h}_t}{dt} &=-hJ^{-h-1}_t\frac{dJ_t}{dt} \end{align}

ここに、式(\ref{eq24})を代入すると

\begin{align} \frac{dJ^{-h}_t}{dt} &=h\partial\epsilon\cdot J^{-h}_t\label{eq26} \end{align}

を得る。式(\ref{eq22})(\ref{eq26})を比較して

\begin{align} g_t=CJ^{-h}_t \end{align}

となる。ここで、はに依存しない定数である。これを丁寧に書くと

\begin{align} g_t(f_t)=C\left(\frac{\partial f_t}{\partial z}\right)^{-h} \end{align}

である。のとき、式(\ref{eq10})から(\ref{eq13})を使うと

\begin{align} \phi(z)&=C\left(\frac{\partial z}{\partial z}\right)^{-h}\nonumber\\ &=C \end{align}

のとき

\begin{align} \phi^{\prime}(z^{\prime})=C\left(\frac{\partial z^{\prime}}{\partial z}\right)^{-h} \end{align}

上の2式より

\begin{align} \phi^{\prime}(z^{\prime})=\left(\frac{\partial z^{\prime}}{\partial z}\right)^{-h}\phi(z) \end{align}

を得る。これが有限の共形変換の下でプライマリー場が満たす変換式である。テキストの式(2.55)に相当する。

エネルギー運動量テンソルの変換式の導出

　の時と同様にパラメータを導入する。

すなわち

\begin{align} h_{t=0}&=T\label{eq33}\\ h_{t=1}&=T^{\prime}\label{eq34} \end{align}

が成り立つ関数を定義する。式(\ref{eq7})(\ref{eq8})(\ref{eq9})から

\begin{align} h_{t+dt}=h_t+dt\left(2\partial\epsilon+\epsilon\partial\right)h_t+dt\frac{c}{12}\partial^3\epsilon \end{align}

と書けるから

\begin{align} \frac{\partial h_{t}}{\partial t}=\left(2\partial\epsilon+\epsilon\partial\right)h_t+\frac{c}{12}\partial^3\epsilon\label{eq36} \end{align}

が成り立つ。をで全微分すると

\begin{align} \frac{d h_{t}}{dt}=\frac{\partial h_t}{\partial t}+\frac{\partial h_t(f_t)}{\partial f_t}\frac{df_t}{dt} \end{align}

ここに、式(\ref{eq17})(\ref{eq36})を代入すると

\begin{align} \frac{d h_{t}}{dt}=2\partial\epsilon\cdot h_t+\frac{c}{12}\partial^3\epsilon\label{eq38} \end{align}

を得る。さて、式(\ref{eq24})(\ref{eq38})を用いると

\begin{align} \frac{d}{dt}\left(J^2_th_t\right) &=2J_t\frac{dJ_t}{dt}h_t+J^2_t\frac{dh_t}{dt}\nonumber\\ &=\frac{c}{12}J_t^2\partial^3\epsilon\label{eq101} \end{align}

と変形できる。さらに、式(\ref{eq16})より

\begin{align} f_{t+dt}&=f_t-dt\epsilon(f_t)\nonumber\\ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}k(f_t)\nonumber\\ &=k\circ f_t(z) \end{align}

と書ける。ここで次のSchwarz微分と呼ばれる量を定義する。

\begin{align} \{f(x);x\}=\frac{f^{(3)}(x)}{f^{(1)}(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)}\right)^2 \end{align}

ここで、はによるの回微分を表す。これを使うと

\begin{align} \{k(f_t);f_t\}\simeq-dt\partial^3\epsilon\label{eq100} \end{align}

となる。また、公式A（後で証明する）

\begin{align} \{g\circ f;z\}=\left(f^{(1)}\right)^2\{g;f\}+\{f;z\} \end{align}

を使うと

\begin{align} \{f_{t+dt}(z);z\} &=\{k\circ f_t(z);z\}\nonumber\\ &=\left(\frac{\partial f_t}{\partial z}\right)^2\{k;f_t\}+\{f_t;z\}\nonumber\\ &=J^2_t\{k;f_t\}+\{f_t;z\}\nonumber\\ &=-dtJ^2_t\partial^3\epsilon(f_t)+\{f_t;z\} \end{align}

を得る。ここで、2行目から3行目への変形で式(\ref{eq23})を、3行目から4行目への変形で式(\ref{eq100})を用いた。上式より

\begin{align} \{f_{t+dt};z\}-\{f_t;z\}= -dtJ^2_t\partial^3\epsilon(f_t) \end{align}

となり

\begin{align} \frac{d\{f_t;z\}}{dt}=-J^2_t\partial^3\epsilon(f_t) \end{align}

を得る。式(\ref{eq101})と合わせて

\begin{align} \frac{d}{dt}\left( J^2_th_t+\frac{c}{12}\{f_t;z\} \right)=0 \end{align}

を得る。これより

\begin{align} J^2_th_t(f_t)+\frac{c}{12}\{f_t;z\} =D \end{align}

と置ける。ここで、はに依存しない定数である。式(\ref{eq10})(\ref{eq11})(\ref{eq33})(\ref{eq34})を使うと、のとき

\begin{align} T(z)+\frac{c}{12}\{z;z\}=T(z) =D \end{align}

のとき

\begin{align} \left(\frac{\partial z^{\prime}}{\partial z}\right)^2T^{\prime}(z^{\prime})+\frac{c}{12}\{z^{\prime};z\} =D \end{align}

となる。上の2式より

\begin{align} T(z)=\left(\frac{\partial z^{\prime}}{\partial z}\right)^2T^{\prime}(z^{\prime})+\frac{c}{12}\{z^{\prime};z\} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.91)である。

公式Aの証明

　任意の関数に対し次の量を定義する。

\begin{align} P\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{F^{(2)}(z)}{F^{(1)}(z)} \end{align}

このとき次式が成り立つ。

\begin{align} P^{(1)}-\frac{1}{2}P^2=\{F,z\}\label{eq102} \end{align}

いま、とすると

\begin{align} P&=\frac{\partial}{\partial z}\ln{F^{(1)}}\nonumber\\ &=\frac{\partial}{\partial z}\ln{\left(g^{(1)}(f)f^{(1)}(z)\right)}\nonumber\\ &=\frac{\partial}{\partial z}\left[ \ln{\left(g^{(1)}(f)\right)}+\ln{f^{(1)}(z)} \right]\nonumber\\ &= \frac{g^{(2)}(f)f^{(1)}(z)}{g^{(1)}(f)}+\frac{f^{(2)}(z)}{f^{(1)}(z)}\nonumber\\ &=q+p \end{align}

となる。ここで

\begin{align} p&\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{f^{(2)}}{f^{(1)}}\\ q&\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{g^{(2)}f^{(1)}}{g^{(1)}} \end{align}

を定義した。式(\ref{eq102})を使うと

\begin{align} \{g\circ f,z\}&=P^{(1)}-\frac{1}{2}P^2\nonumber\\ &=q^{(1)}+p^{(1)}-\frac{1}{2}\left(q+p\right)^2\nonumber\\ &=\left(p^{(1)}-\frac{1}{2}p^2\right)+\left(q^{(1)}-qp-\frac{1}{2}q^2\right)\nonumber\\ &=\{f;z\}+\left(q^{(1)}-qp-\frac{1}{2}q^2\right)\label{eq103} \end{align}

ここで

\begin{align} r(u)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{g^{(2)}(u)}{g^{(1)}(u)} \end{align}

を導入すると

\begin{align} q=r(f)f^{(1)}(z) \end{align}

と書けるから

\begin{align} q^{(1)}-qp-\frac{1}{2}q^2 &=\left[f^{(1)}(z)\right]^2\left[ r^{(1)}(f)-\frac{1}{2}r(f)^2 \right]\nonumber\\ &=\left[f^{(1)}(z)\right]^2\left\{ g,f \right\}\label{eq104} \end{align}

を得る。式(\ref{eq103})(\ref{eq104})から

\begin{align} \{g\circ f,z\}=\{f;z\}+\left(f^{(1)}\right)^2\left\{ g;f \right\} \end{align}

を得る。

一歩踏み込む素粒子物理学：p29の(2.89)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p29の式(2.89)までの式を導出する。

の計算

　記載を簡略化するため、と書く。

\begin{align} T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(z^{\prime})=\left(\frac{1}{\alpha^{\prime}}\right)^2 :A_{\nu}(z)A^{\nu}(z): :A_{\mu}(z^{\prime})A^{\mu}(z^{\prime}): \end{align}

ここに、ウィックの定理を適用し発散する項だけを取り出すと

\begin{align} &T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(z^{\prime})\nonumber\\ &\sim\left(\frac{1}{\alpha^{\prime}}\right)^2 \Bigl[ \langle A_{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime})\rangle:A^{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime}):\Bigr.\nonumber\\ &\Bigl.\hspace{2cm}+\langle A_{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime})\rangle:A^{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime}):\Bigr.\nonumber\\ &\Bigl.\hspace{2cm}+\langle A^{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime})\rangle:A_{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime}):\Bigr.\nonumber\\ &\Bigl.\hspace{2cm}+\langle A^{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime})\rangle:A_{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime}):\Bigr.\nonumber\\ &\Bigl.\hspace{2cm}+\langle A_{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime})\rangle\langle A^{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime})\rangle\Bigr.\nonumber\\ &\Bigl.\hspace{2cm}+\langle A_{\nu}(z)A^{\mu}(z^{\prime})\rangle\langle A^{\nu}(z)A_{\mu}(z^{\prime})\rangle \Bigr] \end{align}

を得る。引数を持つ者同士、引数を持つ者同士をペアにしないようにする。ここに

\begin{align} \langle A^{\mu}(z)A^{\nu}(z^{\prime})\rangle &=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\frac{1}{x^2}\nonumber\\ x&=z-z^{\prime} \end{align}

を代入すると

\begin{align} T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(z^{\prime})\sim2\left(-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:A_{\mu}(z)A^{\mu}(z^{\prime}):\right)\frac{1}{x^2}+\frac{D/2}{x^4}\label{eq4} \end{align}

を得る。ここで

\begin{align} \eta^{\nu\mu}\eta_{\nu\mu}=\operatorname{tr}I_D=D \end{align}

を用いた。はの単位行列、は時空の次元である。続いて、を近傍で展開すると

\begin{align} :A_{\mu}(z)A^{\mu}(z^{\prime}):=:\left[A_{\mu}(z^{\prime})+\partial A_{\mu}(z^{\prime})x+O(x^2) \right]A^{\mu}(z^{\prime}): \end{align}

上式を式(\ref{eq4})に代入し発散する項だけを残すと

\begin{align} T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(z^{\prime})&\sim2\left(-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:A_{\mu}(z^{\prime})A^{\mu}(z^{\prime}):\right)\frac{1}{x^2}\nonumber\\ &+2 \left( -\frac{1}{\alpha^{\prime}} :\partial A^{\mu}(z^{\prime})A_{\mu}(z^{\prime}): \right) \frac{1}{x} +\frac{D/2}{x^4}\nonumber\\ &=\frac{2T^{\rm mat}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})^2}+\frac{\partial T^{\rm mat}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})}+\frac{D/2}{(z-z^{\prime})^4}\label{eq7} \end{align}

を得る。

の計算

　記載を簡略にするため、などと書く。

\begin{align} T^{\rm gh}(z)T^{\rm gh}(z^{\prime})&=:2\partial c_1\cdot b_1+c_1\partial b_1::2\partial c_2\cdot b_2+c_2\partial b_2:\nonumber\\ &=4:\partial c_1\cdot b_1::\partial c_2\cdot b_2:+2:\partial c_1\cdot b_1::c_2\partial b_2:\nonumber\\ &\hspace{1cm}+2:c_1\partial b_1::\partial c_2\cdot b_2:+:c_1\partial b_1::c_2\partial b_2:\label{eq8} \end{align}

式(\ref{eq8})の第1項の計算

　ウィックの定理を適用したあと発散項だけを残す。

\begin{align} 4:\partial c_1\cdot b_1::\partial c_2\cdot b_2:\; &\sim4\langle\partial c_1\cdot b_2\rangle:b_1\partial c_2:+4\langle b_1\partial c_2\rangle:\partial c_1 b_2:\nonumber\\ &\hspace{3cm}+4\langle\partial c_1\cdot b_2\rangle\langle b_1\partial c_2\rangle\label{eq9} \end{align}

ここで、ゴースト場であるから演算子の位置を入れ替える際に負符号が付くこと、また

\begin{align} \langle c_1c_2\rangle&=0\\ \langle b_1b_2\rangle&=0 \end{align}

が成り立つことを用いた。さらに、と置くと

\begin{align} \langle c_1b_2\rangle&=\frac{1}{x}\label{eq12}\\ \langle b_1c_2\rangle&=\frac{1}{x}\label{eq13} \end{align}

であるから

\begin{align} \langle\partial c_1\cdot b_2\rangle&=-\frac{1}{x^2}\\ \langle b_1\partial c_2\rangle&=\frac{1}{x^2} \end{align}

となる。これらを式(\ref{eq9})に代入し

\begin{align} 4:\partial c_1\cdot b_1::\partial c_2\cdot b_2:\; &\sim -\frac{4}{x^4}-\frac{4}{x^2}:b_1\partial c_2:+\frac{4}{x^2}:\partial c_1\cdot b_2: \end{align}

を得る。

式(\ref{eq8})の第2項の計算

　ウィックの定理を適用したあと発散項だけを残す。

\begin{align} 2:\partial c_1\cdot b_1::c_2\partial b_2&\sim2\langle\partial c_1\cdot\partial b_2\rangle:b_1c_2:+2\langle b_1c_2\rangle:\partial c_1\cdot\partial b_2:\nonumber\\ &\hspace{3cm}+2\langle\partial c_1\cdot\partial b_2\rangle\langle b_1c_2\rangle \end{align}

ここに

\begin{align} \langle\partial c_1\partial b_2\rangle&=-\frac{2}{x^3}\\ \langle b_1c_2\rangle&=\frac{1}{x} \end{align}

と式(\ref{eq13})を代入し

\begin{align} 2:\partial c_1\cdot b_1::c_2\partial b_2 &\sim -\frac{4}{x^4}-\frac{4}{x^3}:b_1c_2:+\frac{2}{x}:\partial c_1\cdot\partial b_2: \end{align}

を得る。

式(\ref{eq8})の第3項の計算

　ウィックの定理を適用したあと発散項だけを残す。

\begin{align} 2:c_1\partial b_1::\partial c_2\cdot b_2:&\sim 2\langle c_1b_2\rangle:\partial b_1\cdot\partial c_2:+2\langle\partial b_1\cdot\partial c_2\rangle:c_1b_2:\nonumber\\ &\hspace{3cm}+2\langle c_1b_2\rangle\langle\partial b_1\cdot\partial c_2\rangle \end{align}

ここに

\begin{align} \langle\partial b_1\partial c_2\rangle&=-\frac{2}{x^3} \end{align}

と式(\ref{eq12})を代入し

\begin{align} 2:c_1\partial b_1::\partial c_2\cdot b_2:&\sim -\frac{4}{x^4}-\frac{4}{x^3}:c_1b_2:+\frac{2}{x}:\partial b_1\cdot\partial c_2: \end{align}

を得る。

式(\ref{eq8})の第4項の計算

　ウィックの定理を適用したあと発散項だけを残す。

\begin{align} :c_1\partial b_1::c_2\partial b_2:&\sim\langle c_1\partial b_2\rangle:\partial b_1\cdot c_2:+\langle\partial b_1\cdot c_2\rangle:c_1\partial b_2:\nonumber\\\ &\hspace{3cm}+\langle c_1\partial b_2\rangle\langle\partial b_1\cdot c_2\rangle \end{align}

ここに

\begin{align} \langle c_1\partial b_2\rangle&=\frac{1}{x^2}\\ \langle\partial b_1\cdot c_2\rangle&=-\frac{1}{x^2} \end{align}

を代入し

\begin{align} :c_1\partial b_1::c_2\partial b_2:&\sim -\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^2}:\partial b_1\cdot c_2:-\frac{1}{x^2}:c_1\partial b_2: \end{align}

を得る。

統合

　ここまでの結果をまとめると

\begin{align} T^{\rm mat}(z)&T^{\rm mat}(z^{\prime})\sim -\frac{13}{x^4}+\frac{-4:b_1c_2:-4:c_1b_2: }{x^3}\nonumber\\ &+\frac{-4:b_1\partial c_2:+4:\partial c_1\cdot b_2:+:\partial b_1\cdot c_2:-:c_1\partial b_2:}{x^2}\nonumber\\ &+\frac{2:\partial c_1\cdot\partial b_2:+2:\partial b_1\cdot\partial c_2: }{x}\label{eq28} \end{align}

となる。

式(\ref{eq28})の第2項の計算

　式(\ref{eq28})の第2項は

\begin{align} \frac{-4:b(z)c(z^{\prime}):-4:c(z)b(z^{\prime}): }{x^3}\label{eq29} \end{align}

であるから、分子をの近傍で展開することができる。展開式

\begin{align} b_1&=b_2+\partial b_2\cdot x+\frac{\partial^2b_2}{2}x^2+O(x^3)\\ c_1&=c_2+\partial c_2\cdot x+\frac{\partial^2c_2}{2}x^2+O(x^3) \end{align}

を代入すれば

\begin{align} (\ref{eq28}){\rm の第2項}=&-\frac{4}{x^2}\left(:\partial b_2\cdot c_2:+:\partial c_2\cdot b_2:\right)\nonumber\\ &-\frac{2}{x}\left(:\partial^2b_2\cdot c_2:+:\partial^2c_2\cdot b_2:\right)+O(x^0) \end{align}

を得る。

式(\ref{eq28})の第3項の計算

　同様な計算を行い

\begin{align} &(\ref{eq28}){\rm の第3項}= \frac{1}{x^2}\left(-4:b_2\partial c_2:+4:\partial c_2\cdot b_2:+:\partial b_2\cdot c_2:-:c_2\partial b_2\right)\nonumber\\ &+\frac{1}{x}\left(-4:\partial b_2\cdot\partial c_2:+4:\partial^2 c_2\cdot b_2:+:\partial^2 b_2\cdot c_2:-:\partial c_2\cdot\partial b_2\right)\nonumber\\ &+O(x^0) \end{align}

式(\ref{eq28})の第4項の計算

　同様な計算を行い

\begin{align} (\ref{eq28}){\rm の第4項}=O(x^0) \end{align}

この項からは発散項は出て来ない。

再び統合

　ここまでの結果をまとめる。の項は

\begin{align} -\frac{13}{x^4} \end{align}

である。の項は

\begin{align} \frac{4:\partial c_2\cdot b_2:+2:c_2\partial b_2:}{x^2}=\frac{2T^{\rm gh}(z^{\prime})}{x^2} \end{align}

となる。の項は

\begin{align} \frac{3:\partial c_2\cdot\partial b_2:+2:\partial^2c_2\cdot b_2:+:c_2\partial^2b_2:}{x}=\frac{\partial T^{\rm gh}(z^{\prime})}{x} \end{align}

となる。従って発散項だけ残せば

\begin{align} T^{\rm gh}(z)T^{\rm gh}(z^{\prime})\sim-\frac{13}{(z-z^{\prime})^4}+\frac{2T^{\rm gh}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})^2}+\frac{\partial T^{\rm gh}(z^{\prime})}{z-z^{\prime}}\label{eq38} \end{align}

を得る。

中心電荷

　式(\ref{eq7})と(\ref{eq38})をもう一度書くと

\begin{align} T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(z^{\prime})&\sim\frac{D/2}{(z-z^{\prime})^4}+ \frac{2T^{\rm mat}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})^2}+\frac{\partial T^{\rm mat}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})}\\ T^{\rm gh}(z)T^{\rm gh}(z^{\prime})&\sim\frac{-13}{(z-z^{\prime})^4}+\frac{2T^{\rm gh}(z^{\prime})}{(z-z^{\prime})^2}+\frac{\partial T^{\rm gh}(z^{\prime})}{z-z^{\prime}} \end{align}

である。両式とも第2項と第3項は重みのプライマリー場の演算子積展開に対応するが、第1項が追加されている。この第1項を

\begin{align} \frac{c/2}{(z-z^{\prime})^4} \end{align}

と書いたとき、をエネルギー運動量テンソルの中心電荷と呼ぶ。すなわち、の中心電荷は、の中心電荷はとなる。とはどちらも中心電荷はゼロではないから、プライマリー場ではない。