物理学におけるリー代数：p8の式(II.8)までの計算

はじめに

　「物理学におけるリー代数」（以降、テキストと呼ぶ）p8の式(II.8)のまでの計算を行う。

構造定数の定義

　テキストp7にある次式左辺を展開する。

\begin{align} e^{i\lambda X_b}e^{i\lambda X_a}e^{-i\lambda X_b}e^{-i\lambda X_a}&= \sum_{n,m,l,s=0}^{\infty}\frac{1}{n!\;m!\;l!\;s!}i^{n+m+l+s}\lambda^{n+m+l+s}\nonumber\\ &\hspace{3cm}\times(-1)^{l+s}X_b^nX_a^mX_b^lX_a^s \end{align}

のとき、の4通りである。これらを計算するとの1次の項は

\begin{align} i\lambda\left(X_b+X_a-X_b-X_a\right)=0 \end{align}

となる。 のとき、の組み合わせは10通りある。これらを順に計算するとの2次の項は

\begin{align} \lambda^2[X_a,X_b] \end{align}

となる。 のときは1となるから、これらと合わせて

\begin{align} e^{i\lambda X_b}e^{i\lambda X_a}e^{-i\lambda X_b}e^{-i\lambda X_a}=1+\lambda^2[X_a,X_b]+\cdots \end{align}

を得る。これは、同じリー群の元に等しいとおけるから

\begin{align} 1+\lambda^2[X_a,X_b]+\cdots = 1+i\sum_c\beta_{abc}X_c+\cdots \end{align}

両辺を比較して

\begin{align} i\sum_c\beta_{abc}X_c=\lambda^2[X_a,X_b] \end{align}

とおいて

\begin{align} [X_a,X_b]=i\sum_cf_{abc}X_c\label{eq7} \end{align}

となる。これがテキストの式(II.2)である。を構造定数と呼ぶ。式(\ref{eq7})において添え字とを交換すると

\begin{align} [X_b,X_a]=i\sum_cf_{bac}X_c \end{align}

となる。左辺は]に等しいから

\begin{align} f_{abc}=-f_{bac}\label{eq9} \end{align}

が成り立つ。次に、Baker-Campbell-Hausdorff公式より

\begin{align} e^Ae^B=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\cdots}\label{eq8} \end{align}

を考える。ここに

\begin{align} A&=i\sum_a\alpha_aX_a\\ B&=i\sum_b\beta_bX_b \end{align}

を代入すると

\begin{align} A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\cdots &=i\sum_a\alpha_aX_a+i\sum_b\beta_bX_b-\frac{1}{2}\sum_{a,b}\alpha_a\beta_b[X_a,X_b]+\cdots\nonumber\\ &=i\sum_a\alpha_aX_a+i\sum_b\beta_bX_b-i\frac{1}{2}\sum_{a,b}\alpha_a\beta_bf_{abc}X_c+\cdots\nonumber\\ &=i\sum_c\left(\alpha_c+\beta_c-\frac{1}{2}\sum_{a,b}\alpha_a\beta_bf_{abc}+\cdots\right)X_c \end{align}

となる。も同じリー群に属するからとおける。従って

\begin{align} i\left(\alpha_c+\beta_c-\frac{1}{2}\sum_{a,b}\alpha_a\beta_bf_{abc}+\cdots\right)X_c=i\delta_cX_c \end{align}

となる。これより

\begin{align} \delta_c=\alpha_c+\beta_c-\frac{1}{2}\sum_{a,b}\alpha_a\beta_bf_{abc}+\cdots \end{align}

を得る。これがテキストの式(II.4)である。

随伴表現の定義

　ヤコビ恒等式

\begin{align} [X_a,[X_b,X_d]]+[X_b,[X_d,X_a]]+[X_d,[X_a,X_b]]=0 \end{align}

を考える。式(\ref{eq7})を使うと

\begin{align} \sum_e\left[ \sum_{c}\left(f_{bdc}f_{ace}+f_{dac}f_{bce}+f_{abc}f_{dce}\right) \right]X_e=0 \end{align}

これが、任意のについて成り立つから

\begin{align} \sum_{c}\left(f_{bdc}f_{ace}+f_{dac}f_{bce}+f_{abc}f_{dce}\right)=0\label{eq18} \end{align}

となる。式(\ref{eq9})より

\begin{align} f_{dac}&=-f_{adc}\\ f_{dce}&=-f_{cde} \end{align}

が成り立つから、これらを式(\ref{eq18})に代入すると

\begin{align} \sum_{c}\left(f_{bdc}f_{ace}-f_{adc}f_{bce}\right)=\sum_{c}f_{abc}f_{cde}\label{eq21} \end{align}

を得る。ここで、行列を次式で定義する。

\begin{align} (T_a)_{bc}\stackrel{\mathrm{def}}{=}-if_{abc}\label{eq22} \end{align}

はの随伴表現と呼ばれる。式(\ref{eq22})を使うと式(\ref{eq21})は

\begin{align} [T_a,T_b]_{de}=i\sum_cf_{abc}(T_c)_{de} \end{align}

と変形できる。従って

\begin{align} [T_a,T_b]=i\sum_cf_{abc}T_c \end{align}

が成り立つ。

の対角化

　は実数であるから行列は純虚数行列となる。従って、は実行列となり、そのトレース

\begin{align} G_{ab}\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\rm tr}(T_aT_b) \end{align}

は実数となるから、行列は実行列となる。トレースの巡回性

\begin{align} {\rm tr}(T_aT_b)={\rm tr}(T_bT_a) \end{align}

からは実対称行列である。実対称行列は適当な直交行列で対角化可能であるから

\begin{align} U^TGU={\rm diag}(k_1,k_2,\cdots) \end{align}

と書ける。ここではすべての固有値が正（）である代数を考える。これを要素で書けば

\begin{align} (U^TGU)_{ab}=k_a\delta_{ab}\label{eq28} \end{align}

である。さて、を使った次の変換を考える。

\begin{align} T^{\prime}_a=\sum_bT_bU_{ba}\label{eq29} \end{align}

これを使うと

\begin{align} {\rm tr}(T^{\prime}_aT^{\prime}_b)&=\sum_{c,d}U_{ca}U_{db}\;{\rm tr}(T_cT_d)\nonumber\\ &= \sum_{c,d}U_{ca}U_{db}G_{cd}\nonumber\\ &=\left(U^TGU\right)_{ab}\nonumber\\ &=k_a\delta_{ab}\label{eq30} \end{align}

となる。最後の変形で式(\ref{eq28})を用いた。これがテキストの式(II.7)である。また

\begin{align} [T^{\prime}_a,T^{\prime}_b]&=\sum_{c,d}U_{ca}U_{db}[T_c,T_d]\nonumber\\ &=i\sum_{c,d,e}U_{ca}U_{db}f_{cde}T_e\label{eq31} \end{align}

が成り立つ。式(\ref{eq29})を逆に解くと

\begin{align} T_e=\sum_{f}U_{ef}T^{\prime}_f \end{align}

となるから、式(\ref{eq31})に代入すると

\begin{align} [T^{\prime}_a,T^{\prime}_b]=i\sum_f \left(\sum_{c,d,e}U_{ca}U_{db}U_{ef}f_{cde}\right)T_f^{\prime} \end{align}

ここで

\begin{align} f^{\prime}_{abf}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sum_{c,d,e}U_{ca}U_{db}U_{ef}f_{cde} \end{align}

とおくと

\begin{align} [T^{\prime}_a,T^{\prime}_b]=i\sum_c f^{\prime}_{abc}T_c^{\prime}\label{eq35} \end{align}

を得る。式(\ref{eq9})を使えば

\begin{align} f^{\prime}_{abc}=-f^{\prime}_{bac}\label{eq36} \end{align}

を示すことができる。これ以降は、式(\ref{eq30})(\ref{eq35})(\ref{eq36})のを省略する。

\begin{align} {\rm tr}(T_aT_b)&=k_a\delta_{ab}\label{eq37}\\ [T_a,T_b]&=i\sum_cf_{abc}T_c\\ f_{abc}&=-f_{bac}\label{eq39} \end{align}

の規格化

　の規格化を行う。実数を考え、のスケールを変える。

\begin{align} \tilde{T}_a=c_aT_a \end{align}

このとき

\begin{align} {\rm tr}(\tilde{T}_a\tilde{T}_b) &=c_ac_b{\rm tr}(T_aT_b)\nonumber\\ &=c_a^2k_a\delta_{ab} \end{align}

となる。最後の式を得る際に、式(\ref{eq37})を用いた。定数は任意に取れるので、定数を考え

\begin{align} \lambda=c^2_ak_a \end{align}

とすることができる。このとき

\begin{align} {\rm tr}(\tilde{T}_a\tilde{T}_b)=\lambda\delta_{ab} \end{align}

となる。これがテキストの式(II.8)である。さらに

\begin{align} [\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]&=c_ac_b[T_a,T_b]\nonumber\\ &=i\sum_cc_ac_bf_{abc}T_c\nonumber\\ &=i\sum_c\frac{c_ac_b}{c_c}f_{abc}\tilde{T}_c\nonumber\\ &=i\sum_c\sqrt{\frac{\lambda k_c}{k_ak_b}}f_{abc}\tilde{T}_c \end{align}

が成り立つ。ここで

\begin{align} \tilde{f}_{abc}=\sqrt{\frac{\lambda k_c}{k_ak_b}}f_{abc} \end{align}

とおくと

\begin{align} [\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]=i\sum_c\tilde{f}_{abc}\tilde{T}_c \end{align}

となる。式(\ref{eq39})より

\begin{align} \tilde{f}_{abc}=-\tilde{f}_{bac} \end{align}

である。ここまでの結果をまとめると

\begin{align} {\rm tr}(\tilde{T}_a\tilde{T}_b)&=\lambda\delta_{ab}\label{eq48}\\ [\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]&=i\sum_c\tilde{f}_{abc}\tilde{T}_c\label{eq49}\\ \tilde{f}_{abc}&=-\tilde{f}_{bac}\label{eq50} \end{align}

となる。

が完全反対称であること

　式(\ref{eq49})の添え字を一部変えて

\begin{align} [\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]&=i\sum_d\tilde{f}_{abd}\tilde{T}_d \end{align}

両辺に右側からをかけると

\begin{align} [\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c=i\sum_d\tilde{f}_{abd}\tilde{T}_d\tilde{T}_c \end{align}

両辺のトレースをとると

\begin{align} {\rm tr}\left([\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c\right)=i\sum_d\tilde{f}_{abd}\;{\rm tr}\left(\tilde{T}_d\tilde{T}_c\right) \end{align}

ここに、式(\ref{eq48})を代入して

\begin{align} {\rm tr}\left([\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c\right) &=i\sum_d\tilde{f}_{abd}\lambda\delta_{dc}\nonumber\\ &=i\lambda\tilde{f}_{abc} \end{align}

を得る。従って

\begin{align} \tilde{f}_{abc}=-i\lambda^{-1}{\rm tr}\left([\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c\right) \end{align}

となる。右辺のトレース部分（）は

\begin{align} F_{abc}&={\rm tr}\left([\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( \tilde{T}_a\tilde{T}_b\tilde{T}_c-\tilde{T}_b\tilde{T}_a\tilde{T}_c\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( \tilde{T}_b\tilde{T}_c\tilde{T}_a-\tilde{T}_c\tilde{T}_b\tilde{T}_a\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( [\tilde{T}_b,\tilde{T}_c]\tilde{T}_a\right)\nonumber\\ &=F_{bca}\\ F_{abc}&={\rm tr}\left([\tilde{T}_a,\tilde{T}_b]\tilde{T}_c\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( \tilde{T}_a\tilde{T}_b\tilde{T}_c-\tilde{T}_b\tilde{T}_a\tilde{T}_c\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( \tilde{T}_c\tilde{T}_a\tilde{T}_b-\tilde{T}_a\tilde{T}_c\tilde{T}_b\right)\nonumber\\ &={\rm tr}\left( [\tilde{T}_c,\tilde{T}_a]\tilde{T}_b\right)\nonumber\\ &=F_{cab} \end{align}

となる。従って

\begin{align} \tilde{f}_{abc}=\tilde{f}_{bca}=\tilde{f}_{cab} \end{align}

が成り立つ。これと式(\ref{eq50})より、は完全反対称となる。

対称性と機械学習：p61の式(2.142)の導出

はじめに

　「対称性と機械学習」（以降、テキストと呼ぶ）p61の式(2.142)の導出を行う。

リー代数とリー群

　リー代数の元を考え、指数写像

\begin{align} R(t)=e^{tX},\hspace{1cm}t\in\mathbb{R} \end{align}

を考える。上式はリー群の元となる。両辺をで微分すると

\begin{align} R^{\prime}(t)=Xe^{tX} \end{align}

であるから

\begin{align} R^{\prime}(0)=X \end{align}

が成り立つ。これは、曲線がを通り、における接ベクトルがとなることを示している。

特殊線形群

　特殊線形群は行列式が1であるような一般線形群の部分群である。

\begin{align} {\rm SL}_n(\mathbb{R})=\{ A\in{\rm GL}_n(\mathbb{R})|\det{A}=1 \} \end{align}

以下の議論では、とし、その単位元における接空間の元をとする。このとき、であるから、であり

\begin{align} \frac{d}{dt}\det{R(t)}=0\label{eq5} \end{align}

が成り立つ。

式(2.142)の計算

　次式

\begin{align} \left.\frac{d}{dt}\det{R(t)}\right|_{t=0}&=\left.\frac{d}{dt}\det{e^{tX}}\right|_{t=0}\nonumber\\ &= \left.\frac{d}{dt}\det{\left(I+tX\right)}\right|_{t=0}\label{eq6} \end{align}

を計算する。とはそれぞれの列ベクトルを使い

\begin{align} I&=\left(e_1,e_2,\cdots,e_n\right)\\ X&=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right) \end{align}

と書くことができるから、これらを使うと

\begin{align} \det{\left(I+tX\right)}=\det{\left(e_1+tx_1, e_2+tx_2,\cdots,e_n+tx_n\right)} \end{align}

となる。この式は、行列式の線形性を利用して計算することができる。例えば、のときは

\begin{align} \det{\left(I+tX\right)} &=\det{\left(e_1+tx_1, e_2+tx_2\right)}\nonumber\\ &=\det{\left(e_1,e_2\right)}+t\Bigl(\det{\left(e_1,x_2\right)}+\det{\left(x_1,e_2\right)}\Bigr)\nonumber\\ &\hspace{3cm}+t^2\det{\left(x_1,x_2\right)}\nonumber\\ &=1+t\;{\rm tr}{X}+t^2\det{X} \end{align}

となり、のときは

\begin{align} \det{\left(I+tX\right)} &=\det{\left(e_1+tx_1, e_2+tx_2, e_3+tx_3\right)}\nonumber\\ &=1+t\;{\rm tr}{X}\nonumber\\ &+t^2\Bigl( \det{\left(e_1,x_2,x_3\right)}+\det{\left(x_1,e_2,x_3\right)+\det{\left(x_1,x_2,e_3\right)}} \Bigr)\nonumber\\ &+t^3\det{X} \end{align}

となる。一般ののときも

\begin{align} \det{\left(I+tX\right)}=1+t\;{\rm tr}{X}+O(t^2) \end{align}

と書くことができる。両辺をで微分しとおくと

\begin{align} \left.\frac{d}{dt}\det{\left(I+tX\right)}\right|_{t=0}={\rm tr}{X} \end{align}

を得る。式(\ref{eq5})が成り立つから

\begin{align} {\rm tr}{X}=0 \end{align}

となる。これがテキストの式(2.142)である。

一歩踏み込む素粒子物理学：p34の式(2.124)の導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p34の式(2.124)までの導出を行う。

BRSTカレント

　改善前のBRSTカレントと改善後のBRSTカレントは次式で与えられた。

\begin{align} j_B(z)&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):\\ \tilde{j}_B(z)&=j_B(z)+\frac{3}{2}\partial^2c(z)\label{eq2} \end{align}

ここで

\begin{align} T^{\rm mat}(z)&=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\partial X^{\mu}(z)\cdot\partial X_{\mu}(z)\\ T^{\rm gh}(z)&=-2:b(z)\partial c(z):-:\partial b(z)\cdot c(z): \end{align}

である。

の計算　

　次を計算する。

\begin{align} :c(z)T^{\rm gh}(z):\;=\lim_{z\rightarrow w}\Bigl\{ c(z)T^{\rm gh}(w)-\left[c(z)T^{\rm gh}(w)\right]_s \Bigr\} \end{align}

ここで、はの特異部分を表す。最初に、右辺第1項を計算する。

\begin{align} c(z)T^{\rm gh}(w) &= c(z)\Bigl\{ -2:b(w)\partial c(w):-:\partial b(w)\cdot c(w): \Bigl\}\nonumber\\ &= -2c(z):b(w)\partial c(w):-c(z):\partial b(w)\cdot c(w):\label{eq6} \end{align}

上式右辺の第1項をWick展開すると

\begin{align} -2c(z):b(w)\partial c(w):\;&=-2:c(z)b(w)\partial c(w):-2\langle c(z)b(w)\rangle\partial c(w)\nonumber\\ &\hspace{2cm}+2\langle c(z)\partial c(w)\rangle b(w)\label{eq7} \end{align}

となる。ここで

\begin{align} \langle c(z)b(w)\rangle&=\frac{1}{z-w}\\ \langle c(z)\partial c(w)\rangle&=0 \end{align}

を式(\ref{eq7})に代入すると

\begin{align} -2c(z):b(w)\partial c(w):\;=-2:c(z)b(w)\partial c(w):-2\frac{\partial c(w)}{z-w} \end{align}

となる。次に、式(\ref{eq6})第2項のWick展開は

\begin{align} -c(z):\partial b(w)\cdot c(w):\;=-:c(z)\partial b(w)\cdot c(w):\;-\langle c(z)\partial b(w)\rangle c(w) \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)\partial b(w)\rangle c(w)&=\partial_w\langle c(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &=\partial_w\frac{1}{z-w}\nonumber\\ &=\frac{1}{(z-w)^2} \end{align}

であるから

\begin{align} -c(z):\partial b(w)\cdot c(w):\;=-:c(z)\partial b(w)\cdot c(w):\;-\frac{c(w)}{(z-w)^2} \end{align}

となる。従って

\begin{align} c(z)T^{\rm gh}(w) &=-2:c(z)b(w)\partial c(w):-:c(z)\partial b(w)\cdot c(w):\nonumber\\ &\hspace{3cm}-2\frac{\partial c(w)}{z-w}-\frac{c(w)}{(z-w)^2} \end{align}

となる。上式右辺第3項と第4項がに相当するから

\begin{align} :c(z)T^{\rm gh}(z):\; &=\lim_{z\rightarrow w}\Bigl\{ -2:c(z)b(w)\partial c(w):-:c(z)\partial b(w)\cdot c(w): \Bigr\}\nonumber\\ &= -2:c(z)b(z)\partial c(z):-:c(z)\partial b(z)\cdot c(z):\nonumber\\ &= -2:c(z)b(z)\partial c(z):+:c^2(z)\partial b(z):\nonumber\\ &= -2:c(z)b(z)\partial c(z):\nonumber\\ &= 2:b(z)c(z)\partial c(z):\label{eq15} \end{align}

となる。

の計算

　を以下のように書き直す。

\begin{align} j_B(z)&=M(z)+G(z)\label{eq16}\\ M(z)&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z):\label{eq17}\\ G(z)&=\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z)=\;:b(z)c(z)\partial c(z):\label{eq18} \end{align}

3行目では式(\ref{eq15})を用いた。式(\ref{eq16})を使うと

\begin{align} j_B(z)j_B(w)&=\left\{M(z)+G(z)\right\}\left\{M(w)+G(w)\right\}\nonumber\\ &=M(z)M(w)+M(z)G(w)+G(z)M(w)+G(z)G(w)\label{eq19} \end{align}

となる。最初に、を計算する。Wick展開を行うと

\begin{align} M(z)M(w)&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z)::c(w)T^{\rm mat}(w):\nonumber\\ &=\;:c(z)T^{\rm mat}(z)c(w)T^{\rm mat}(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+:c(z)c(w):\langle T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(w)\rangle\label{eq20} \end{align}

となる。ここで

\begin{align} \langle c(z)c(w)\rangle&=0\label{eq21}\\ \langle c(z)T^{\rm mat}(w)\rangle&=0\label{eq22}\\ \langle T^{\rm mat}(z)c(w)\rangle&=0\label{eq23}\\ \end{align}

を用いた。と置くと、テキストの式(2.88)より

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)T^{\rm mat}(w)\rangle=\frac{D/2}{\delta^4}+\frac{2T^{\rm mat}(w)}{\delta^2}+\frac{\partial T^{\rm mat}(w)}{\delta} \end{align}

であるから、式(\ref{eq20})は

\begin{align} M(z)M(w)\sim\; :c(z)c(w): \left\{ \frac{D/2}{\delta^4}+\frac{2T^{\rm mat}(w)}{\delta^2}+\frac{\partial T^{\rm mat}(w)}{\delta} \right\}\label{eq25} \end{align}

となる。ここで、は時空の次元である。を近傍で展開すると

\begin{align} c(z)=c(w)+\partial c(w)\cdot\delta+\frac{\partial^2c(w)}{2!}\delta^2+\frac{\partial^3c(w)}{3!}\delta^3+O(\delta^4) \end{align}

従って

\begin{align} :c(z)c(w):\;&=-:c(w)\partial c(w):\delta-\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{2!}\delta^2\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\frac{:c(w)\partial^3c(w):}{3!}\delta^3+O(\delta^4) \end{align}

となる。これを式(\ref{eq25})に代入すると

\begin{align} M(z)M(w)&\sim -\frac{D}{2}:c(w)\partial c(w):\frac{1}{\delta^3}-\frac{D}{4}:c(w)\partial^2c(w):\frac{1}{\delta^2}\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\left\{ \frac{D}{12}:c(w)\partial^3c(w):+2:c(w)\partial c(w)T^{\rm mat}(w): \right\}\frac{1}{\delta}\label{eq28} \end{align}

となる。ただし

\begin{align} :c(w)\partial c(w):T^{\rm mat}(w)=\;:c(w)\partial c(w)\cdot T^{\rm mat}(w): \end{align}

を用いた。次に、を計算する。式(\ref{eq17})(\ref{eq18})より

\begin{align} M(z)G(w)&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z)::b(w)c(w)\partial c(w):\nonumber\\ &=\;:c(z)T^{\rm mat}(z)b(w)c(w)\partial c(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\langle c(z)b(w) \rangle :T^{\rm mat}(z)c(w)\partial c(w): \end{align}

を得る。ここで、式(\ref{eq21})(\ref{eq22})(\ref{eq23})を用いた。

\begin{align} \langle c(z)b(w) \rangle =\frac{1}{\delta} \end{align}

であるから

\begin{align} M(z)G(w)\sim \frac{:T^{\rm mat}(z)c(w)\partial c(w):}{\delta} \end{align}

となる。を近傍で展開して

\begin{align} M(z)G(w)\sim \frac{:T^{\rm mat}(w)c(w)\partial c(w):}{\delta}\label{eq33} \end{align}

を得る。も同じ結果を得るから

\begin{align} M(z)G(w)+G(z)M(w)\sim 2\frac{:T^{\rm mat}(w)c(w)\partial c(w):}{\delta}\label{eq34} \end{align}

となる。最後に、を計算する。

\begin{align} G(z)G(w) =\;:b(z)c(z)\partial c(z)::b(w)c(w)\partial c(w): \end{align}

この計算では、1重縮約と2重縮約が現れるので分けて考える。最初に、1重縮約を計算する。

\begin{align} \left[G(z)G(w)\right]_1 &\sim -\langle b(z)c(w) \rangle :c(z)\partial c(z)\cdot b(w)\partial c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\langle b(z)\partial c(w)\rangle:c(z)\partial c(z)\cdot b(w)c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\langle c(z)b(w)\rangle b(z)\partial c(z)\cdot c(w)\partial c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\langle\partial c(z)\cdot b(w)\rangle:b(z)c(z)c(w)\partial c(w): \nonumber\\ &= -\frac{:c(w)\partial c(w)\cdot b(w)\partial c(w):}{\delta}+\frac{:c(w)\partial c(w)\cdot b(w)c(w)}{\delta^2}\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\frac{:b(w)\partial c(w)\cdot c(w)\partial c(w):}{\delta}-\frac{:b(w)c^2(w)\partial c(w):}{\delta^2}\nonumber\\ &=0\label{eq36} \end{align}

ここで、はの1重縮約を表すとした。一方、2重縮約は

\begin{align} \left[G(z)G(w)\right]_2 &\sim \langle b(z)c(w)\rangle\langle c(z)b(w)\rangle:\partial c(z)\cdot\partial c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\langle b(z)\partial c(w)\rangle\langle c(z)b(w)\rangle:\partial c(z)\cdot c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\langle b(z)\partial c(w)\rangle\langle\partial c(z)\cdot b(w)\rangle:c(z) c(w):\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\langle\partial c(z)\cdot b(w)\rangle\langle b(z)c(w)\rangle:c(z)\partial c(w):\nonumber\\ &= \frac{1}{\delta}\frac{:\partial c(z)\cdot\partial c(w)}{\delta}-\frac{1}{\delta^2}\frac{:\partial c(z)\cdot c(w):}{\delta}\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\frac{1}{\delta^2}\frac{:c(z)c(w):}{\delta^2}+\frac{1}{\delta^2}\frac{:c(z)\partial c(w):}{\delta}\nonumber\\ &= \frac{:\partial c(z)\cdot\partial c(w):}{\delta^2} -\frac{:\partial c(z)\cdot c(w):}{\delta^3} +\frac{:c(z)\partial c(w):}{\delta^3}\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\frac{:c(z)c(w):}{\delta^4}\label{eq37} \end{align}

となる。右辺第1項の分子を近傍で展開すると

\begin{align} :\partial c(z)\partial c(w): &=:\Bigl\{ \partial c(w)+\partial^2c(w)\cdot\delta+\frac{1}{2!}\partial^3c(w)\cdot\delta^2+O(\delta^3) \Bigr\}\partial c(w):\nonumber\\ &= :\partial c(w)\partial c(w):+:\partial^2c(w)\partial c(w):\cdot\delta\nonumber\\ &\hspace{2cm}+:\frac{1}{2!}\partial^3c(w)\partial c(w):\cdot\delta^2+O(\delta^3) \end{align}

となる。従って、式(\ref{eq37})の第1項は

\begin{align} \frac{:\partial c(z)\cdot\partial c(w):}{\delta^2}&= \frac{:\partial c(w)\partial c(w):}{\delta^2}+\frac{:\partial^2c(w)\partial c(w):}{\delta}+O(\delta^0)\nonumber\\ &\sim\frac{:\partial^2c(w)\partial c(w):}{\delta}\nonumber\\ &=-\frac{:\partial c(w)\partial^2c(w):}{\delta} \end{align}

となる。ここで、を用いた。同様な計算を繰り返すと 式(\ref{eq37})の第2項は

\begin{align} -\frac{:\partial c(z)\cdot c(w):}{\delta^3}\sim\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}+\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{\delta^2}+\frac{1}{2}\frac{:c(w)\partial^3c(w):}{\delta} \end{align}

式(\ref{eq37})の第3項は

\begin{align} \frac{:c(z)\partial c(w):}{\delta^3}\sim \frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}-\frac{1}{2}\frac{:\partial c(w)\partial^2c(w):}{\delta} \end{align}

式(\ref{eq37})の第4項は

\begin{align} -\frac{:c(z)c(w):}{\delta^4}\sim\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}+\frac{1}{2}\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{\delta^2}+\frac{1}{6}\frac{:c(w)\partial^3c(w)}{\delta} \end{align}

となる。の1重縮約項はゼロであったから、ここまでの各2重縮約項の和がそのままとなる。

\begin{align} G(z)G(w) &\sim \frac{3:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}+\frac{3}{2}\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{\delta^2}\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{1}{\delta}\Bigl\{ \frac{2}{3}:c(w)\partial^3c(w):-\frac{3}{2}:\partial c(w)\partial^2c(w): \Bigr\}\label{eq43} \end{align}

となる。式(\ref{eq19})に式(\ref{eq28})(\ref{eq34})(\ref{eq43})を代入して

\begin{align} j_B(z)j_B(w)&\sim-\frac{D-6}{2}\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}-\frac{D-6}{4}\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{\delta^2}\nonumber\\ &\hspace{1cm}-\frac{1}{\delta}\Bigl\{ \frac{8-D}{12}:c(w)\partial^3c(w):+\frac{3}{2}:\partial c(w)\partial^2c(w): \Bigr\}\label{eq44} \end{align}

を得る。ここで

\begin{align} \partial\left(:c(w)\partial^2c(w):\right)=:\partial c(w)\partial^2c(w):+:c(w)\partial^3c(w): \end{align}

を使うと、式(\ref{eq44})の右辺第3項は

\begin{align} &-\frac{1}{\delta}\Bigl\{ \frac{8-D}{12}:c(w)\partial^3c(w):+\frac{3}{2}:\partial c(w)\partial^2c(w): \Bigr\}\nonumber\\ &= -\frac{1}{\delta}\Bigl\{ \frac{26-D}{12}:c(w)\partial^3c(w):+\frac{3}{2}\partial\left(:c(w)\partial^2c(w):\right) \Bigr\} \end{align}

となる。従って

\begin{align} j_B(z)j_B(w)&\sim-\frac{D-6}{2}\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}-\frac{D-6}{4}\frac{:c(w)\partial^2c(w):}{\delta^2}\nonumber\\ &\hspace{1cm} -\frac{1}{\delta}\Bigl\{ \frac{26-D}{12}:c(w)\partial^3c(w):+\frac{3}{2}\partial\left(:c(w)\partial^2c(w):\right) \Bigr\}\label{eq47} \end{align}

を得る。

の計算

　式(\ref{eq2})を使うと

\begin{align} \tilde{j}_B(z)\tilde{j}_B(w)&=j_B(z)j_B(w)+\frac{3}{2}\Bigl\{ j_B(z)\partial^2c(w)+\partial^2c(z)\cdot j_B(w) \Bigr\}\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{9}{4}\partial^2c(z)\partial^2c(w)\label{eq48} \end{align}

を得る。右辺第1項は既に計算した。右辺第3項はのとき発散しない。従って、第2項を計算すれば良い。テキストの式(2.120)

\begin{align} j_B(z)c(w)\sim\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta}\label{eq49} \end{align}

から始める。両辺をで微分すると

\begin{align} j_B(z)\partial c(w)\sim\frac{:\partial c(w)\partial c(w):+:c(w)\partial^2c(w):}{\delta}+\frac{:c(w)\partial c(w)}{\delta^2} \end{align}

さらに、で微分すると

\begin{align} j_B(z)\partial^2c(w)&\sim \frac{:\partial c(w)\partial^2c(w):}{\delta}+\frac{:c(w)\partial^3c(w):}{\delta}\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{2:c(w)\partial^2c(w)}{\delta^3}+\frac{2:c(w)\partial c(w)}{\delta^4}\label{eq51} \end{align}

を得る。式(\ref{eq49})から

\begin{align} c(z)j_B(w)\sim\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta} \end{align}

となるから、両辺をで2回微分すると

\begin{align} \partial^2c(z)\cdot j_B(w)\sim\frac{2:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}\label{eq53} \end{align}

を得る。式(\ref{eq47})(\ref{eq51})(\ref{eq53})を式(\ref{eq48})に代入し整理すると

\begin{align} \tilde{j}_B(z)\tilde{j}_B(w)&\sim \frac{18-D}{2}\frac{:c(w)\partial c(w):}{\delta^3}+\frac{18-D}{4}\frac{:c(w)\partial^2c(w)}{\delta^2}\nonumber\\ &+\frac{26-D}{12}\frac{:c(w)\partial^3c(w):}{\delta} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.124)である。

一歩踏み込む素粒子物理学：p34の式(2.123)の導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p34の式(2.123)までの導出を行う。

の計算

　Neumann境界条件の開弦の場合、テキストの式(2.109)より

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})&=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right)\nonumber\\ &\hspace{3cm}+:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}): \end{align}

となる。従って

\begin{align} \langle X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle&= X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})-:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &= -\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2}\right) \end{align}

である。両辺をで微分すると

\begin{align} \langle \partial_zX^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle= -\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)\label{eq3} \end{align}

となる。

の計算

\begin{align} T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}) &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial_zX_{\nu}(z)\partial_zX^{\nu}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\Bigl\{ :\partial_zX_{\nu}(z)\partial_zX^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}):\Bigr.\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\Bigl.\langle\partial_zX_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial_zX^{\nu}(z)\Bigr.\nonumber\\ \Bigl. &\hspace{2cm}+\Bigl.\langle\partial_zX^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial_zX_{\nu}(z) \Bigr\} \end{align}

上式右辺第1項は発散を含まない項である。従って、式(\ref{eq3})を上式に代入し発散項だけを残すと

\begin{align} T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})&\sim \left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)\partial_zX^{\mu}(z)\nonumber\\ &=\langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle \label{eq5} \end{align}

を得る。近傍でを展開すると

\begin{align} \partial_zX^{\mu}(z)=\partial_wX^{\mu}(w)+\partial_w^2X^{\mu}(w)\cdot(z-w)+O\left((z-w)^2\right) \end{align}

式(\ref{eq5})に代入すると

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_wX^{\mu}(w)}{z-w} \end{align}

を得る。一方、近傍でを展開し同様な計算を行うと

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}} \end{align}

となる。これら2式から

\begin{align} \langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\sim \frac{\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\label{eq9} \end{align}

を得る。第1項は近傍の発散項、第2項は近傍の発散項である。

の計算

　BRSTカレントはここで見たように

\begin{align} j_B(z)&=:c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):\\ \tilde{j}_B(z)&=:c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z) \end{align}

で与えられる。前者は改善前、後者は改善後のBRSTカレントである。改善後のBRSTカレントはの場として振る舞うのであった。このとき、式(\ref{eq9})を使い、を計算すると

\begin{align} j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})&=\;:c(z)T^{\rm mat}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &\sim c(z)\langle T^{\rm mat}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\nonumber\\ &=\frac{c(z)\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{c(z)\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\nonumber\\ &\simeq \frac{c(w)\partial_{w}X^{\mu}(w)}{z-w}+ \frac{c(\bar{w})\partial_{\bar{w}}X^{\mu}(\bar{w})}{z-\bar{w}}\label{eq12} \end{align}

を得る。はゴースト場と独立であるから、に対しても同じ結果を得る。これがテキストの式(2.118)である。

の計算

　BRST電荷は

\begin{align} Q_B=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}j_B(z) \end{align}

で与えられた。は原点を含む反時計回りの円である。これを使うと

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}] &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}[j_B(z),X^{\mu}(w,\bar{w})]\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}X^{\mu}(w,\bar{w})j_B(z)\label{eq14} \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円と、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}] &=\oint_{C_w+C_{\bar{w}}}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)X^{\mu}(w,\bar{w})] \end{align}

となる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq12})を代入すると

\begin{align} [Q_B,X^{\mu}(w,\bar{w}]=c(w)\partial_wX^{\mu}(w,\bar{w})+c(\bar{w})\partial_wX^{\mu}(w,\bar{w}) \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.119)である。

の計算

\begin{align} j_B(z)c(w) &=\Bigl\{ :c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z): \Bigr\}c(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z):c(w)+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):c(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z)c(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\langle c(z)c(w)\rangle T^{\rm mat}(z)+c(z)\langle T^{\rm mat}(z)c(w)\rangle\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z)c(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{1}{2}\langle c(z)c(w)\rangle T^{\rm gh}(z)+\frac{1}{2}c(z)\langle T^{\rm gh}(z)c(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)c(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm mat}(z)c(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm gh}(z)c(w)\rangle&=-\frac{c(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_wc(w)}{z-w} \end{align}

である。発散する項だけ残すと

\begin{align} j_B(z)c(w)\sim -\frac{1}{2}\frac{c(z)c(w)}{(z-w)^2}+\frac{1}{2}\frac{c(z)\partial_wc(w)}{z-w}\label{eq21} \end{align}

となる。ここでを近傍で展開する。

\begin{align} c(z)=c(w)+\partial_wc(w)\cdot(z-w)+O\left((z-w)^2\right) \end{align}

これを式(\ref{eq21})を代入して

\begin{align} j_B(z)c(w)&\sim -\frac{1}{2}\frac{c^2(w)+\partial_wc(w)\cdot c(w)(z-w)+\cdots}{(z-w)^2}\nonumber\\ &+\frac{\left(c(w)+\partial_wc(w)\cdot(z-w)+\cdots\right)\partial_wc(w)}{z-w}\nonumber\\ &\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w}\label{eq23} \end{align}

を得る。ここでを用いた。これがテキストの式(2.120)である。改善されたカレントの場合

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)=j_B(z)c(w)+\frac{3}{2}\partial^2_zc(z)c(w) \end{align}

となるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w} +\frac{3}{2}\partial^2_z\langle c(z)c(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)c(w)\rangle=0 \end{align}

であるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)c(w)\sim\frac{c(w)\partial_wc(w)}{z-w} \end{align}

となる。式(\ref{eq23})と同じ結果である。

の計算

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\{j_B(z),c(w)\}\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)c(w)+\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}c(w)j_B(z) \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} =\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)c(w)] \end{align}

と変形できる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq23})を代入すると

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} =c(w)\partial_wc(w) \end{align}

を得る。

の計算

\begin{align} j_B(z)b(w)&= \Bigl\{ :c(z)T^{\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z): \Bigr\}b(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z):b(w)+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z):b(w)\nonumber\\ &=\; :c(z)T^{\rm mat}(z)b(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\langle c(z)b(w)\rangle T^{\rm mat}(z)+c(z)\langle T^{\rm mat}(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{2}:c(z)T^{\rm gh}(z)b(w):\nonumber\\ &\hspace{2cm}+\frac{1}{2}\langle c(z)b(w)\rangle T^{\rm gh}(z)+\frac{1}{2}c(z)\langle T^{\rm gh}(z)b(w)\rangle \end{align}

ここで

\begin{align} \langle c(z)b(w)\rangle&=\frac{1}{z-w}\\ \langle T^{\rm mat}(z)b(w)\rangle&=0\\ \langle T^{\rm gh}(z)b(w)\rangle&=\frac{2b(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_wb(w)}{z-w} \end{align}

である。発散する項だけを残すと

\begin{align} j_B(z)b(w)\sim \frac{T^{\rm mat}(z)}{z-w}+\frac{1}{2}\frac{T^{\rm gh}(z)}{z-w}+\frac{c(z)b(w)}{(z-w)^2}+\frac{1}{2}\frac{c(z)\partial_wb(w)}{z-w}\label{eq31} \end{align}

となる。ここでとを近傍で展開する。

\begin{align} c(z)&=c(w)+\partial_wc(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ T^{\rm mat}(z)&=T^{\rm mat}(w)+\partial_wT^{\rm mat}(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ T^{\rm gh}(z)&=T^{\rm gh}(w)+\partial_wT^{\rm gh}(w)(z-w)+O\left((z-w)^2\right)\\ \end{align}

これらを式(\ref{eq31})に代入し整理すると

\begin{align} j_B(z)b(w) &\sim \frac{T^{\rm mat}(w)+T^{\rm gh}(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}\nonumber\\ &= \frac{T(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}\label{eq35}\\ T(w)&=T^{\rm mat}(w)+T^{\rm gh}(w) \end{align}

を得る。

の計算

\begin{align} \tilde{j}_B(z)=j_B(z)+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z) \end{align}

であるから

\begin{align} \tilde{j}_B(z)b(w)=j_B(z)b(w)+\frac{3}{2}\partial_z^2c(z)b(w) \end{align}

となる。右辺第1項は既に計算したから第2項を計算する。

\begin{align} \frac{3}{2}\partial_z^2c(z)b(w)&=\frac{3}{2}:\partial_z^2c(z)b(w):+\frac{3}{2}\partial_z^2\langle c(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &\sim\frac{3}{2}\partial_z^2\langle c(z)b(w)\rangle\nonumber\\ &=\frac{3}{(z-w)^3} \end{align}

従って

\begin{align} \tilde{j}_B(z)b(w)\sim \frac{T(w)}{z-w}+\frac{c(w)b(w)}{(z-w)^2}+\frac{3}{(z-w)^3} \end{align}

となる。

の計算

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} &=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\{j_B(z),b(w)\}\nonumber\\ &=\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}j_B(z)b(w)+\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}b(w)j_B(z) \end{align}

右辺第1項は、第2項はである。はを内部に持つ反時計回りの円、はを内部に持ちを外部に持つ反時計回りの円である。2つの円を変形し、だけを内部に持つ反時計回りの円を作ると

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} =\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}R[j_B(z)b(w)] \end{align}

と変形できる。ここでは動径順序積を表す。上式に式(\ref{eq35})を代入すると

\begin{align} \{Q_B,b(w)\} =T(w) \end{align}

を得る。

\begin{align} Q_B=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\tilde{j}_B(z) \end{align}

のときも同じ結果を得る。

の計算

　を振動子で展開すると

\begin{align} c(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n+1} \end{align}

となる。これをに代入する。左辺は

\begin{align} \{Q_B,c(w)\} &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}w^{-n+1}\{Q_B,c_n\}\label{eq46} \end{align}

となる。一方、右辺は

\begin{align} c(w)\partial_wc(w)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nw^{-n+1}\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_m(-m+1)w^{-m}\nonumber\\ &=\sum_{n,m\in\mathbb{Z}}c_nc_m(-m+1)w^{-(n+m)+1}\nonumber\\ &=\sum_{n\in\mathbb{Z}}w^{-n+1}\left[ \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\} \right]\label{eq47} \end{align}

となる。式(\ref{eq46})(\ref{eq47})から

\begin{align} \{Q_B,c_n\}&= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\}\nonumber\\ &=-\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}(n+m)+\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m} \end{align}

を得る。右辺第2項をと置くと

\begin{align} S_n= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m} \end{align}

とし、の和をの和に取り直すと

\begin{align} S_n&= \sum_{l\in\mathbb{Z}}c_{l+n}c_{-l}\nonumber\\ &= -\sum_{l\in\mathbb{Z}}c_{-l}c_{l+n}\nonumber\\ &=-S_n \end{align}

となるからである。以上より

\begin{align} \{Q_B,c_n\}&= \sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}\left\{-(n+m)+1\right\}\nonumber\\ &=-\sum_{m\in\mathbb{Z}}c_{-m}c_{n+m}(n+m) \end{align}

が成り立つ。

の計算

　を振動子で展開すると

\begin{align} b(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}b_nz^{-n-2} \end{align}

同様に、をで展開すると

\begin{align} T(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}L_nz^{-n-2} \end{align}

となる。これらをに代入すると

\begin{align} \sum_{n\in\mathbb{Z}}\{Q_B,b_n\}z^{-n-2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}L_nz^{-n-2} \end{align}

を得る。これより

\begin{align} \{Q_B,b_n\}=L_n \end{align}

となる。

一歩踏み込む素粒子物理学：p33の式(2.117)の導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p33の式(2.117)を導出する。

準備

　テキストの式(A.62)(A.63)でBRST電荷とBRSTカレントは

\begin{align} Q_B&=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}j_B(\rho)\label{eq1}\\ j_B(\rho)&=\;:c(\rho)T^{\rm mat}(\rho):+\frac{1}{2}:c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\label{eq2} \end{align}

で与えられた。また、共形変換

\begin{align} z=e^{\rho}\label{eq3} \end{align}

の下でのエネルギー運動量テンソルの変換式は、テキストの式(2.91)で与えられた。

\begin{align} T(\rho)&=\left(\frac{\partial z}{\partial\rho}\right)^2T^{\prime}(z)+\frac{c}{12}\{z;\rho\}\\ \{z;\rho\}&=\frac{z^{(3)}}{z^{(1)}}-\frac{3}{2}\left(\frac{z^{(2)}}{z^{(1)}}\right)^2 \end{align}

ここで、はの中心電荷、はSchwarz微分である。この式の導出は、ここで行った。また、表記上の注意として、はの微分ではなく、新しい座標系での場を表す。さらに、はをでn回微分したものである。以降の表記も全て同じである。

物質場からの寄与

　最初に、式(\ref{eq2})のを考える。の中心電荷はであるから、の変換式は次式で与えられる。

\begin{align} T^{\rm mat}(\rho)=z^2T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13}{12} \end{align}

ここで、ゴースト場は

\begin{align} c^{\prime}(z)&=zc(\rho)\label{eq8} \end{align}

と変換されるから

\begin{align} c(\rho)T^{\rm mat}(\rho) &=\frac{c^{\prime}(z)}{z}\left(z^2T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13}{12}\right)\nonumber\\ &=zc^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z)-\frac{13c^{\prime}(z)}{12z} \end{align}

となる。ゴースト場と物質場の積は同一点で発散しないから、以下のように素直に正規順序を取ることできる。

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm mat}(\rho):\; =z:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z):-\frac{13c^{\prime}(z)}{12z}\label{eq9} \end{align}

ゴースト場からの寄与

　ゴースト場の場合は注意が必要である。最初に次式を考える。

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\;&=\lim_{\epsilon\rightarrow0}:c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho):\nonumber\\ &=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\left\{ c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)-\Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s \right\}\label{eq11} \end{align}

ここで、、はの演算子積展開（OPE）の特異部分を表す。以下のOPEは全て動径順序積として理解する。さて、ゴースト場とエネルギー運動量テンソルのOPEの特異部分はテキストの式(2.82)で与えられた。

\begin{align} \Bigl[T^{\rm gh}(w)c(w^{\prime})\Bigr]_s\sim-\frac{c(w^{\prime})}{(w-w^{\prime})^2}+\frac{\partial c(w^{\prime})}{w-w^{\prime}} \end{align}

上式の導出はここで行った。はGrassmann偶、はGrassmann奇であるから両者の順序を入れ替えても負符号は付かず

\begin{align} \Bigl[c(w^{\prime})T^{\rm gh}(w)\Bigr]_s\sim-\frac{c(w^{\prime})}{(w-w^{\prime})^2}+\frac{\partial c(w^{\prime})}{w-w^{\prime}} \end{align}

と書ける。と置くと

\begin{align} \Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s &\sim-\frac{c(\rho+\epsilon)}{\epsilon^2}-\frac{\partial_{\rho}c(\rho+\epsilon)}{\epsilon}\nonumber\\ &\sim-\frac{c(\rho)}{\epsilon^2}-\frac{2\partial_{\rho}c(\rho)}{\epsilon} \end{align}

と書ける。上式を共形変換する。式(\ref{eq8})とを使って

\begin{align} \Bigl[c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)\Bigr]_s \sim -\frac{c^{\prime}(z)}{\epsilon^2z}-\frac{2}{\epsilon}\left(\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\label{eq13} \end{align}

となる。これが式(\ref{eq11})の右辺第2項である。次に式(\ref{eq11})の右辺第1項を計算する。計算を進めるため次を定義する。

\begin{align} z_{\epsilon}&=e^{\rho+\epsilon}=ze^{\epsilon}\\ %\delta&=z_{\epsilon}-z=z(e^{\epsilon}-1) \end{align}

これを使うと、場は

\begin{align} c(\rho+\epsilon)=\frac{c^{\prime}(z_{\epsilon})}{z_{\epsilon}}\label{eq15} \end{align}

と変換される。の中心電荷はであるから、は

\begin{align} T^{\rm gh}(\rho)=z^2T^{\prime\rm gh}(z)+\frac{13}{12}\label{eq16} \end{align}

と変換される。式(\ref{eq15})(\ref{eq16})を使うと

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)=\frac{z^2}{z_{\epsilon}}c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)+\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}} \end{align}

となる。ここで、右辺第1項のを計算すると

\begin{align} c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)=\;:c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):+\Bigl[c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)\Bigr]_s \end{align}

上式の右辺第2項は、を定義すると

\begin{align} \Bigl[c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z)\Bigr]_s &=-\frac{c^{\prime}(z_{\epsilon})}{\delta^2}-\frac{\partial_zc^{\prime}(z_{\epsilon})}{\delta}\nonumber\\ &=-\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}-\frac{2\partial_zc^{\prime}(z)}{\delta} \end{align}

と書けるから

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)&=\frac{z^2}{z_{\epsilon}} :c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):\nonumber\\ &\hspace{1cm}-\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}-\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{2\partial_zc^{\prime}(z)}{\delta} +\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}}\label{eq20} \end{align}

と変形できる。ここで、各量を微小量で展開すると

\begin{align} \frac{1}{\delta} &=\frac{1}{z\epsilon}\left(1+\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^2}{3!}+O(\epsilon^3)\right)^{-1}\nonumber\\ &=\frac{1}{z\epsilon}-\frac{1}{2z}+\frac{\epsilon}{12z}+O(\epsilon^3)\label{eq21}\\ \frac{1}{\delta^2} &=\frac{1}{(z\epsilon)^2}\left(1+\frac{\epsilon}{2!}+\frac{\epsilon^2}{3!}+O(\epsilon^3)\right)^{-2}\nonumber\\ &=\frac{1}{(z\epsilon)^2}-\frac{1}{z^2\epsilon}+\frac{5}{12z^2}+O(\epsilon)\label{eq22} \end{align}

となる。ただし

\begin{align} (1+x)^{-1}&=1-x+x^2-x^3+O(x^4)\\ (1+x)^{-2}&=1-2x+3x^2-4x^3+O(x^4) \end{align}

を用いた。式(\ref{eq21})(\ref{eq22})と

\begin{align} \frac{z^2}{z_{\epsilon}} &=ze^{-\epsilon}\nonumber\\ &=z\left(1-\epsilon+\frac{\epsilon^2}{2!}+O(\epsilon^3)\right) \end{align}

を使うと

\begin{align} -\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{c^{\prime}(z)}{\delta^2}&=-\frac{c^{\prime}(z)}{z\epsilon^2}+\frac{2c^{\prime}(z)}{z\epsilon}-\frac{23c^{\prime}(z)}{12z}+O(\epsilon)\\ -\frac{z^2}{z_{\epsilon}}\frac{2\partial c^{\prime}(z)}{\delta}&=-\frac{2\partial c^{\prime}(z)}{\epsilon}+3\partial c^{\prime}(z) \end{align}

を得る。これらを式(\ref{eq20})に代入すると

\begin{align} c(\rho+\epsilon)T^{\rm gh}(\rho)&=\frac{z^2}{z_{\epsilon}} :c^{\prime}(z_{\epsilon})T^{\prime\rm gh}(z):\nonumber\\ &\hspace{1cm}-\frac{c^{\prime}(z)}{\epsilon^2z}-\frac{2}{\epsilon}\left( \partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \right)\nonumber\\ &\hspace{1cm}+3\partial c^{\prime}(z)-\frac{23c^{\prime}(z)}{12z}+\frac{13c^{\prime}(z_{\epsilon})}{12z_{\epsilon}}\label{eq28} \end{align}

を得る。これが式(\ref{eq11})の第1項である。式(\ref{eq13})と(\ref{eq28})を式(\ref{eq11})に代入すると

\begin{align} :c(\rho)T^{\rm gh}(\rho):\;=z:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm gh}(z):+3\partial c^{\prime}(z)-\frac{5c^{\prime}(z)}{6z}\label{eq29} \end{align}

を得る。

BRSTカレントの改善

　式(\ref{eq9})と(\ref{eq29})から

\begin{align} j_B(\rho)&=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\left(\partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\label{eq30}\\ j^{\prime}_B(z)&=\;:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm mat}(z):+\frac{1}{2}:c^{\prime}(z)T^{\prime\rm gh}(z): \end{align}

を得る。ここで

\begin{align} \partial_{\rho}c(\rho)&=z\partial_z\left(\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right)\nonumber\\ &=\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \end{align}

もう一度微分して

\begin{align} \partial^2_{\rho}c(\rho)=z\partial^2_zc^{\prime}(z)-\left(\partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}\right) \end{align}

を得る。これより

\begin{align} \partial_zc^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z}=z\partial^2_zc^{\prime}(z)-\partial^2_{\rho}c(\rho) \end{align}

これを式(\ref{eq30})に代入して

\begin{align} j_B(\rho)+\frac{3}{2}\partial^2_{\rho}c(\rho)&=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}z\partial^2_zc^{\prime}(z)\nonumber\\ &=z\left(j^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\partial^2_zc^{\prime}(z)\right) \end{align}

を得る。ここで、改善されたBRSTカレント

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)&=j_B(\rho)+\frac{3}{2}\partial^2_{\rho}c(\rho)\\ \tilde{j}^{\prime}_B(z)&=j^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\partial^2_zc^{\prime}(z) \end{align}

を導入すると

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z)\label{eq39} \end{align}

と書くことできる。ここでいう改善とは、閉曲線積分で得られるBRST電荷を変えない全微分項を加えることにより、局所カレントの共形変換則を斉次な形に整えることを意味する。式(\ref{eq1})の積分範囲は共形変換により、原点を含む反時計回りの半径の円（）となる。積分測度はと変換するから

\begin{align} \int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}\tilde{j}_B(\rho)=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\tilde{j}_B^{\prime}(z)\label{eq40} \end{align}

が成り立つ。左辺に含まれる次の積分を考える。

\begin{align} \int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}d\rho\partial_{\rho}^2c(\rho)&= \partial_{\rho}c(\tau+i\pi)-\partial_{\rho}c(\tau-i\pi)\nonumber\\ &=0 \end{align}

上式は、の周期性によりゼロとなる。一方、式(\ref{eq40})の右辺に含まれる次の積分を考える。

\begin{align} \oint_Cdz\partial^2_zc^{\prime}(z)&=\oint_Cd\left(\partial_zc^{\prime}(z)\right)\nonumber\\ &=0 \end{align}

上式は、閉曲線上でが一価であることからゼロとなる。従って、式(\ref{eq40})の両辺はBRST電荷に等しくなる。

\begin{align} Q_B&=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}\tilde{j}_B(\rho)=\int^{\tau+i\pi}_{\tau-i\pi}\frac{d\rho}{2\pi i}j_B(\rho)\\ Q_B&=\oint_C\frac{dz}{2\pi i} \tilde{j}_B^{\prime}(z)=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}j_B(z) \end{align}

について

　最後に、同じBRST電荷を導くカレントの中から、カレント自身が余分な非斉次項なしに共形変換する代表を選ぶ場合、その共形ウェイトは でなければならないことを示す。

　が重みのプライマリー場であるとき、は共形変換(\ref{eq3})の下で以下のように変換される。

\begin{align} j^{\prime}_B(z)=\left(\frac{d\rho}{dz}\right)^hj_B(\rho) \end{align}

積分測度は

\begin{align} dz=\frac{dz}{d\rho}d\rho \end{align}

であるから

\begin{align} dzj^{\prime}_B(z)=\left(\frac{d\rho}{dz}\right)^{h-1}d\rho j_B(\rho)\label{eq47} \end{align}

となる。 が共形不変となるには

\begin{align} dzj^{\prime}_B(z)=d\rho j_B(\rho) \end{align}

でなければならない。従って、式(\ref{eq47})よりとなる。
　がのプライマリー場であるとき共形変換(\ref{eq3})の下で

\begin{align} j_B(\rho)=zj^{\prime}_B(z) \end{align}

となる。しかし、式(\ref{eq30})で見たように、実際には

\begin{align} j_B(\rho)=zj^{\prime}_B(z)+\frac{3}{2}\left( \partial c^{\prime}(z)-\frac{c^{\prime}(z)}{z} \right) \end{align}

となる。しかし、改善されたBRSTカレントを使うと式(\ref{eq39})で見たように

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z) \end{align}

となり、のプライマリー場と同じ変換となることが分かる。

まとめ

　式(\ref{eq30})から分かるように、全微分項を含まないBRSTカレント は、写像に対して非斉次項を伴って変換する。一方

\begin{align} \tilde{j}_B=\tilde{j}^{\prime}_B+\frac{3}{2}\partial^2c \end{align}

と改善すると

\begin{align} \tilde{j}_B(\rho)=z\tilde{j}^{\prime}_B(z) \end{align}

となる。これは、がこの写像に対し重み1の場として変換することを示している。

一歩踏み込む素粒子物理学：p33の(2.115)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p33の式(2.115)までの式を導出する。

の計算

　開弦のときは次式で与えられた（テキストの式(2.50)）。

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z}) &=\hat{x}^{\mu}-i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\label{eq1} \end{align}

右辺第3項を2つの和に分けると

\begin{align} i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right) &= i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\nonumber\\ &+ i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-n}}{-n}\left(z^{n}+\bar{z}^{n}\right) \end{align}

となる。右辺第1項のは消滅演算子、第2項のは生成演算子である。また、は消滅演算子、は生成演算子である。に式(\ref{eq1})を代入し、演算子の順序が消滅・生成の順になるものだけを明示すると

\begin{align} &X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) =-i\alpha^{\prime}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)\hat{p}^{\mu}\hat{x}^{\nu}\nonumber\\ &+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{m\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-m}}{-n}\left(z^{m}+\bar{z}^{m}\right) +\cdots \end{align}

となる。交換関係

\begin{align} [\alpha_n^{\mu},\alpha_m^{\nu}]&=n\delta_{n+m,0}\eta^{\mu\nu}\\ [\hat{x}^{\mu},\hat{p}^{\nu}]&=i\eta^{\mu\nu} \end{align}

を使うと

\begin{align} &X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) =-i\alpha^{\prime}\hat{x}^{\nu}\hat{p}^{\mu}\ln{z\bar{z}}-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &+ i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{m\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_{-m}}{-n}\left(z^{m}+\bar{z}^{m}\right) i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\nonumber\\ &+\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\sum_{n=1}\frac{1}{n}\left\{ \left(\frac{w}{z}\right)^n+\left(\frac{w}{\bar{z}}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{z}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{\bar{z}}\right)^n \right\} +\cdots\nonumber\\ &=\,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &+\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\sum_{n=1}\frac{1}{n}\left\{ \left(\frac{w}{z}\right)^n+\left(\frac{w}{\bar{z}}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{z}\right)^n+\left(\frac{\bar{w}}{\bar{z}}\right)^n \right\} \end{align}

と変形できる。は正規順序積を表す。ここで

\begin{align} \ln{(1-x)}=-\sum_{n=1}\frac{x^n}{n} \end{align}

を使うと

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}) &=\,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):-\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu}\ln{z\bar{z}}\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{\frac{|z-w|^2}{z\bar{z}}}+\ln{\frac{|z-\bar{w}|^2}{z\bar{z}}} \right)\nonumber\\ &= \,:X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &\hspace{2cm}-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right)\label{eq8} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.109)である。閉弦のときも同様な計算を繰り返せばテキストの式(2.110)を得る。

の計算

　開弦のとき、式(\ref{eq8})より

\begin{align} \langle X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle&= X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w})- :X^{\mu}(z,\bar{z})X^{\nu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \ln{|z-w|^2}+\ln{|z-\bar{w}|^2} \right) \end{align}

が成り立つ。これをで微分すると

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\label{eq10} \right) \end{align}

となる。はだけの関数になるので、と書いた。閉弦の場合は

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(w,\bar{w})\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}}{2}\eta^{\mu\nu} \frac{1}{z-w}\label{eq11} \end{align}

となる。

の計算

　開弦の場合、と置くと、式(\ref{eq10})より

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(x,x)\rangle=-\frac{\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu} }{z-x}\label{eq12} \end{align}

閉弦のときは

\begin{align} \langle \partial X^{\mu}(z)X^{\nu}(x,x)\rangle=-\frac{1}{2}\frac{\alpha^{\prime}\eta^{\mu\nu} }{z-x} \end{align}

となる。後者には係数が付くことに注意する。

の計算

　Wickの定理を使うと

\begin{align} &T(z)X^{\mu}(w,\bar{w})=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X_{\nu}(z)\partial X^{\nu}(z):X^{\mu}(w,\bar{w})\nonumber\\ &=-\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X_{\nu}(z)\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w}):\nonumber\\ &\hspace{5mm}-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X^{\nu}(z) -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X_{\nu}(z)\nonumber\\ &\sim-\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X_{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X^{\nu}(z) -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\langle\partial X^{\nu}(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\rangle\partial X_{\nu}(z) \end{align}

と書ける。開弦の場合は式(\ref{eq10})を使い

\begin{align} T(z)X^{\mu}(w,\bar{w})\sim \frac{\partial X^{\mu}(z)}{z-w}+\frac{\partial X^{\mu}(z)}{z-\bar{w}}\label{eq15} \end{align}

となる。

の計算

　式(\ref{eq15})でと置くと

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)\sim \frac{2\partial X^{\mu}(z)}{z-x} \end{align}

を近傍で展開すると

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)&\sim \frac{2\partial X^{\mu}(x)+2\partial^2X^{\mu}(x)(z-x)+O\left((z-x)^2\right)}{z-x}\nonumber\\ &\sim\frac{2\partial X^{\mu}(x)}{z-x}\label{eq17} \end{align}

となる。さて、とは次式で与えられた。

\begin{align} z&=e^{\tau+i\sigma}\\ \bar{z}&=e^{\tau-i\sigma} \end{align}

いま

\begin{align} x&=e^{\tau}\cos{\sigma}\\ y&=e^{\tau}\sin{\sigma} \end{align}

と置くと

\begin{align} \frac{\partial}{\partial\sigma}=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y} \end{align}

である。開弦のときのNeumann境界条件は

\begin{align} \partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,\sigma)|_{\sigma=0\,{\rm or}\,\pi}=0 \end{align}

であった。のときとなるから

\begin{align} \partial_{\sigma} X^{\mu}=x\partial_yX^{\mu}|_{y=0}=0 \end{align}

である。のときであるから

\begin{align} \partial_yX^{\mu}|_{y=0}=0 \end{align}

を得る。つまり、実軸上で上式が成り立つ。ここで

\begin{align} \partial_z=\frac{1}{2}\left( \partial_x-i\partial_y \right) \end{align}

が成り立つから、実軸上を考えると

\begin{align} \partial X^{\mu}(x)=\partial_zX^{\mu}(x)=\frac{1}{2}\partial_xX(x)\label{eq27} \end{align}

となる。これを式(\ref{eq17})に代入すると

\begin{align} T(z)X^{\mu}(x,x)\sim\frac{\partial_x X^{\mu}(x)}{z-x} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.112)である。

の計算

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,&= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z): \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\nonumber\\ &= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} :\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\label{eq29} \end{align}

を考える。和の中の項にWickの定理を使うと

\begin{align} &:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:\nonumber\\ &\hspace{1cm}=\,:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X(x,x)\right)^n:+A_1+A_2\nonumber\\ &\hspace{1cm}\sim A_1+A_2\label{eq30} \end{align}

となる。ここでは1回の縮約項、は2回の縮約項を表す。正規順序積は発散項を含まないので以降では式(\ref{eq30})を考える。最初にを計算する。

\begin{align} A_1&=\sum_{i=1}^n\langle\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n\langle\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle:\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}: \end{align}

ここで、はを含まないことを意味する。式(\ref{eq12})を使うと

\begin{align} A_1&=\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x} :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip_{\mu}}{z-x} :\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &=2\sum_{i=1}^n \frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x} :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &=2n\frac{-\alpha^{\prime}ip^{\mu}}{z-x}:\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X\right)^{n-1}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq29})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A_1 &=\frac{2ip_{\mu}}{z-x}\sum_{n=1}\frac{1}{(n-1)!}:\partial X^{\mu}\left(ip\cdot X\right)^{n-1}:\nonumber\\ &=\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\partial X^{\mu}(z)e^{ip\cdot X(x,x)}: \end{align}

となる。ここでを近傍で展開すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A_1 &\simeq\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\left(\partial X^{\mu}(x)+\partial^2X^{\mu}(x)\,(z-x)\right)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &\sim\frac{2ip_{\mu}}{z-x}:\partial X^{\mu}(x)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &=\frac{ip_{\mu}}{z-x}:\partial_xX^{\mu}(x)e^{ip\cdot X(x,x)}:\nonumber\\ &=\frac{1}{z-x}\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:\label{eq34} \end{align}

を得る。右辺2行目から3行目への変形で式(\ref{eq27})を用いた。次に、を計算する。とペアを組むが通り、とペアを組むが通り考えられるから

\begin{align} A_2&=n(n-1)\langle\partial X^{\mu}(z)ip\cdot X(x,x)\rangle\langle\partial X_{\mu}(z)ip\cdot X(x,x)\rangle\nonumber\\ &\hspace{3cm}\times:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}:\nonumber\\ &=n(n-1)\frac{-i\alpha^{\prime}p^{\mu}}{z-x}\frac{-i\alpha^{\prime}p_{\mu}}{z-x}:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq27})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}A_2&= \frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}\sum_{n=2}\frac{1}{(n-2)!}:\left(ip\cdot X(x,x)\right)^{n-2}:\nonumber\\ &= \frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}:e^{ip\cdot X(x,x)}:\label{eq36} \end{align}

となる。式(\ref{eq34})(\ref{eq36})から

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,\sim \frac{1}{z-x}\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:+\frac{\alpha^{\prime}p^2}{(z-x)^2}:e^{ip\cdot X(x,x)}: \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.113)である。

の計算

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,&= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z): \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\nonumber\\ &= -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} :\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\label{eq38} \end{align}

を考える。和の中の項にWickの定理を使うと

\begin{align} &:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z):: \left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:\nonumber\\ &\hspace{1cm}=\,:\partial X^{\mu}(z)\partial X_{\mu}(z)\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^n:+B_1+B_2\nonumber\\ &\hspace{1cm}\sim B_1+B_2\label{eq39} \end{align}

となる。ここでは1回の縮約項、は2回の縮約項を表す。正規順序積は発散項を含まないので以降では式(\ref{eq39})を考える。最初にを計算する。

\begin{align} B_1&=\sum_{i=1}^n\langle\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle :\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}:\nonumber\\ &+\sum_{i=1}^n\langle\partial X_{\mu}(z)ip_{\mu_i}X^{\mu_i}\rangle:\partial X^{\mu}(z)ip_{\mu_1}X^{\mu_1}\cdots \widehat{ip_{\mu_i}X^{\mu_i}}\cdots ip_{\mu_n}X^{\mu_n}: \end{align}

式(\ref{eq10})を使うと

\begin{align} B_1=-i\alpha^{\prime}p_{\mu}n\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}} \right):\partial X^{\mu}(z)\left(ip\cdot X\right)^{n-1}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq38})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}} \sum_{n=0} \frac{1}{n!} B_1=ip_{\mu} \left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right) :\partial X^{\mu}(z)e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}: \end{align}

となる。ここで近傍を考えると、の寄与は無視できるので

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}} \sum_{n=0} \frac{1}{n!} B_1 &\sim ip_{\mu} \frac{1}{z-w} :\partial X^{\mu}(w)e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\nonumber\\ &= \frac{1}{z-w} \partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\label{eq43} \end{align}

となる。次に、を計算する。先と同じ計算を繰り返すと

\begin{align} B_2&=n(n-1)\langle\partial X^{\mu}(z)ip\cdot X(w,\bar{w})\rangle\langle\partial X_{\mu}(z)ip\cdot X(w,\bar{w})\rangle\nonumber\\ &\hspace{3cm}\times:\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^{n-2}:\nonumber\\ &=-n(n-1) \left(\frac{\alpha^{\prime}}{2}\right)^2p^2\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}} \right)^2 :\left(ip\cdot X(w,\bar{w})\right)^{n-2}: \end{align}

となる。これを式(\ref{eq38})に代入すると

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}B_2= \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{z-\bar{w}}\right)^2:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}: \end{align}

となる。近傍を考えて

\begin{align} -\frac{1}{\alpha^{\prime}}\sum_{n=0}\frac{1}{n!}B_2\sim \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\frac{1}{(z-w)^2}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\label{eq46} \end{align}

を得る。式(\ref{eq43})(\ref{eq46})より

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,\sim \frac{\alpha^{\prime}}{4} p^2\frac{1}{(z-w)^2}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:+\frac{\partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{z-w} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.114)である。

プライマリー場の重み

　テキストの式(2.84)より、重みのプライマリー場に対し

\begin{align} T(z)\phi(w,\bar{w})\sim\frac{h\phi(w,\bar{w})}{(z-w)^2}+\frac{\partial\phi(w,\bar{w})}{(z-w)}\label{eq48} \end{align}

が成り立つ。上で求めた式を再掲すると

\begin{align} T(z):e^{ip\cdot X(x,x)}:\,&\sim \frac{\alpha^{\prime}p^2:e^{ip\cdot X(x,x)}:}{(z-x)^2}+\frac{\partial_x:e^{ip\cdot X(x,x)}:}{z-x}\\ T(z):e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:\,&\sim \frac{\frac{\alpha^{\prime}p^2}{4}:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{(z-w)^2}+\frac{\partial:e^{ip\cdot X(w,\bar{w})}:}{z-w} \end{align}

である。上2式を式(\ref{eq48})と比べると、場の重みは、場の重みはであることが分かる。

一歩踏み込む素粒子物理学：p32の(2.108)までの式導出

はじめに

　「一歩踏み込む素粒子物理学」（以降、テキストと呼ぶ）p32の式(2.108)までの式を導出する。

の計算

　重みのプライマリー場はの多項式で書くことができる。

\begin{align} \phi(z)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}\phi_nz^{-n-h}\label{eq1} \end{align}

この式の両辺にをかけ、原点を含む経路で複素積分を実行すれば次式を得る。

\begin{align} \phi_m=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\phi(z)z^{h-1+m} \end{align}

これと、先に求めたVirasoro演算子

\begin{align} L_n=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1}\label{eq3} \end{align}

との間の交換関係を計算する。

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=[\oint_C\frac{dz}{2\pi i}T(z)z^{n+1},\oint_C\frac{dw}{2\pi i}\phi(w)w^{h-1+m}]\nonumber\\ &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_C\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}[T(z),\phi(w)]\nonumber\\ &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\oint_{C_w}\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}R[T(z)\phi(w)] \end{align}

ここで、はを含み原点を含まない経路、は動径順序積を表す。

\begin{align} R[T(z)\phi(w)]=\frac{h\phi(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial\phi(w)}{z-w} \end{align}

を代入すると

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m}\left\{ (n+1)w^nh\phi(w)+w^{n+1}\partial\phi(w) \right\}\nonumber\\ &=(n+1)h\oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h-1+m+n} \phi(w)+ \oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w) \nonumber\\ &=(n+1)h\phi_{m+n}+ \oint_C\frac{dw}{2\pi i}w^{h+m+n}\partial\phi(w)\label{eq6} \end{align}

を得る。式(\ref{eq1})より

\begin{align} \partial\phi(w)=\sum_{z\in\mathbb{Z}}(-n-h)\phi_nw^{-n-h-1} \end{align}

であるから、これを式(\ref{eq6})の第2項に代入すると

\begin{align} [L_n,\phi_m] &=(n+1)h\phi_{m+n}-(m+n+h)\phi_{m+n}\nonumber\\ &=[(h-1)n-m]\phi_{m+n} \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.99)である。さて、と置くと

\begin{align} [L_0,\phi_{-n}]=n\phi_{-n} \end{align}

となる。これがテキストの式(2.100)である。

並進変換の生成子

　微小変換

\begin{align} z^{\prime}=z-\epsilon(z) \end{align}

の生成子は次式で与えられた。

\begin{align} Q_{\epsilon}=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\epsilon(z)T(z) \end{align}

従って、式(\ref{eq3})で与えられるVirasoro演算子は微小変換

\begin{align} z^{\prime}&=z-az^{n+1}\nonumber\\ &=(1-az^n)z\nonumber\\ &\simeq e^{-az^n}z \end{align}

の生成子である（は微小量とした）。のとき

\begin{align} z^{\prime}\simeq e^{-a}z \end{align}

ここに、を代入すると

\begin{align} z^{\prime}&\simeq e^{\tau^{\prime}+i\sigma}\\ \tau^{\prime}&=\tau-a \end{align}

となる。従って、演算子は時間並進の演算子である。同様な議論を

\begin{align} iL_0=\oint_C\frac{dz}{2\pi i}\left(iz\right)T(z) \end{align}

に対して行うことができる。は微小変換

\begin{align} z^{\prime}&\simeq e^{\tau+i\sigma^{\prime}}\\ \sigma^{\prime}&=\sigma-b \end{align}

の生成子である（を微小量とした）。

状態-演算子対応

　開弦について次式が成り立つ

\begin{align} X^{\mu}(z,\bar{z})&=\hat{x}^{\mu}-i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\left(\ln{z}+\ln{\bar{z}}\right)\nonumber\\ &\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{\alpha^{\mu}_n}{n}\left(z^{-n}+\bar{z}^{-n}\right)\label{eq19} \end{align}

実軸上（）では

\begin{align} X^{\mu}(x,x)&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\neq0}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\ &=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x} +i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\nonumber\\ &\hspace{3cm}+i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n}\nonumber\\ &=A_0^{\mu}+A_-^{\mu}+A_+^{\mu} \end{align}

となる。ただし

\begin{align} A_0^{\mu}&=\hat{x}^{\mu}-2i\alpha^{\prime}\hat{p}^{\mu}\ln{x}\\ A_-^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{n}\alpha^{\mu}_nx^{-n}\\ A_+^{\mu}&=i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\ge1}\frac{2}{-n}\alpha^{\mu}_{-n}x^{n} \end{align}

と置いた。ここで

\begin{align} \alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\ \hat{p}^{\mu}|0\rangle&=0 \end{align}

であるから、とは消滅演算子である。この事実を用いると

\begin{align} :e^{ip\cdot X(x,x)}:&=:e^{ip\cdot A_0+ip\cdot A_-+ip\cdot A_+}:\nonumber\\ &=:e^{ip\cdot A_0}e^{ip\cdot A_-}e^{ip\cdot A_+}:\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}:e^{ip\cdot A_0}:e^{ip\cdot A_-}\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-} \end{align}

が成り立つ。これがテキストの式(2.103)である。上式をに作用させると

\begin{align} :e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}e^{ip\cdot A_-}|0\rangle\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}e^{2\alpha^{\prime}p\cdot\hat{p}\ln{x}}|0\rangle\nonumber\\ &=e^{ip\cdot A_+}e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle \end{align}

さらに、とすると

\begin{align} \lim_{x\rightarrow0}:e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle&=e^{ip\cdot\hat{x}}|0\rangle\nonumber\\ &=|p\rangle\label{eq27} \end{align}

となる。これがテキストの式(2.104)である。
　式(\ref{eq19})をで偏微分すると

\begin{align} \partial X^{\mu}(z)=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\alpha^{\mu}_nz^{-n-1} \end{align}

を得る。右辺から依存性はなくなるので、左辺の引数をだけにした。これを真空状態に作用させると

\begin{align} \partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\left( \cdots +\alpha^{\mu}_{-2}z +\alpha^{\mu}_{-1} +\frac{\alpha^{\mu}_{0}}{z} +\frac{\alpha^{\mu}_{1}}{z^2} +\cdots \right)|0\rangle \end{align}

となる。ここで

\begin{align} \alpha^{\mu}_n|0\rangle&=0\,\,(n\ge1)\\ \alpha^{\mu}_0|0\rangle&\propto\hat{p}^{\mu}|0\rangle=0\\ \end{align}

であるから

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial X^{\mu}(z)|0\rangle=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}} \alpha^{\mu}_{-1}|0\rangle \end{align}

を得る。同じような計算を繰り返すと

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^2 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}\alpha^{\mu}_{-2}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^3 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(2!)\alpha^{\mu}_{-3}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^4 X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(3!)\alpha^{\mu}_{-4}|0\rangle \end{align}

などを得る。これを一般化すると

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^m X^{\mu}(z)|0\rangle&=-i\sqrt{\frac{\alpha^{\prime}}{2}}(m-1)!\alpha^{\mu}_{-m}|0\rangle \end{align}

となる。つまり、状態を演算子に対応させることができる。ゴースト場についても

\begin{align} c(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n+1}\\ b(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_nz^{-n-2} \end{align}

を使うと

\begin{align} \lim_{z\rightarrow0}\partial^{n+1}c(z)|0\rangle&=(n+1)!c_{-n}|0\rangle\\ \lim_{z\rightarrow0}\partial^{n-2}b(z)|0\rangle&=(n-2)!b_{-n}|0\rangle \end{align}

を得るので、状態は演算子に、状態は演算子に対応する。これらがテキストの式(2.107)に相当する。テキストの式(2.62)は

\begin{align} \alpha_{-n_1}^{\mu_1}\alpha_{-n_2}^{\mu_2}\cdots c_{-m_1}c_{-m_2}\cdots b_{-l_1}b_{-l_2}\cdots|p\rangle \end{align}

であった（）。ここに、上で議論した状態と演算子の対応関係と式(\ref{eq27})使うと

\begin{align} &\lim_{z\rightarrow0,x\rightarrow0} \partial^{n_1} X^{\mu_1}(z)\partial^{n_2} X^{\mu_2}(z) \cdots \partial^{m_1+1}c(z)\partial^{m_2+1}c(z) \nonumber\\ &\hspace{3cm} \cdots\partial^{l_1-2}b(z)\partial^{l_2-2}b(z)\cdots :e^{ip\cdot X(x,x)}:|0\rangle \end{align}

を得る。これがテキストの式(2.108)である。