振幅エンコーディング

はじめに

　振幅エンコーディングの手順を示す。規格化されたベクトル ${\bf v}=(v_0,\cdots,v_{N-1})$ の各成分を量子状態の振幅に埋め込み

${\displaystyle \begin{equation} \sum_{i=0}^{N-1}v_i|i\rangle \end{equation} }$

を作ることが目的である。

1. 初期状態

　最初に次の初期状態を用意する。

${\displaystyle \begin{equation} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|0\rangle_B\;|0\rangle_C \end{equation} }$

ここで、 $A$ と $B$ をつけたケットベクトルは $n$ 個の量子ビットから構成されるレジスタ、 $C$ をつけたケットベクトルは $m$ 個の量子ビットから構成されるレジスタである。また、 $N=2^n$ である。 $A$ レジスタにはQRAMから取り出すデータのアドレスが格納されている。

2. QRAM

　上の初期状態を用いてQRAMからデータ ${\bf v}=(v_0,\cdots,v_{N-1})$ を取り出す。 ${\bf v}$ は規格化されているとする。データの取り出しは基底エンコーディングにより行われ $B$ レジスタに格納される。

${\displaystyle \begin{equation} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|0\rangle_C \end{equation} }$

ここで、 $b(x)$ は $x$ を2進数表記した0,1の並びである。従って、その精度は $n$ ビットで表現できる範囲のものであることに注意する。

3. 算術演算

　 $B$ レジスタに入力した値 $v_i$ を引数とする関数 $\;f(v_i)=\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}$ の値を算術演算により $C$ レジスタに入力する。

${\displaystyle \begin{equation} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|b\left(\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}\right)\rangle_C \end{equation} }$

${\bf v}$ は規格化されているので $0\le v_i\le 1$ である。これより

${\displaystyle \begin{align} 0\le\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}\le\dfrac{1}{2} \label{eq2} \end{align} }$

である。従って $\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}$ の2進数表記は

${\displaystyle \begin{align} \dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i} &=\sum_{k=0}^{m-1}2^{-k-1}a_k\nonumber \\ &=\dfrac{1}{2}a_0+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2a_1+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^m a_{m-1} \label{eq1} \end{align} }$

で定義される $a_k$ を用いて

${\displaystyle \begin{equation} b\left(\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}\right)=0.a_0a_1\cdots a_{m-1} \end{equation} }$

と書くことができる。ここで、 $a_k$ は0か1のどちらかの値を取る整数である。この表記を用いると $C$ レジスタは

${\displaystyle \begin{equation} |b\left(\dfrac{1}{\pi}\cos^{-1}{v_i}\right)\rangle_C=|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C \end{equation} }$

と書くことができる。ここまでの処理で得られる全状態は次式である。

${\displaystyle \begin{equation} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C \end{equation} }$

4. 回転ゲートの適用

　最初に1ビットからなる4つ目のレジスタ（ $D$ レジスタ）を追加する。

${\displaystyle \begin{equation} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C\;|0\rangle_D \end{equation} }$

次に $C$ レジスタの各ビットを制御ビットとして $D$ レジスタに回転ゲート $R_y(\pi 2^{-k})$ を作用させる。

${\displaystyle \begin{align*} &\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C\;\prod_{k=0}^{m-1}R_y(a_k\pi 2^{-k})|0\rangle_D\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C\;R_y\left(\pi\sum_{k=0}^{m-1}a_k2^{-k}\right)|0\rangle_D \end{align*} }$

ここで、式(\ref{eq1})を用いると

${\displaystyle \begin{align*} R_y\left(\pi\sum_{k=0}^{m-1}a_k2^{-k}\right) &=R_y\left(\pi\dfrac{2}{\pi}\cos^{-1}{v_i})\right)\\ &=R_y\left(2\cos^{-1}{v_i})\right) \end{align*} }$

を得る。さらに

${\displaystyle \begin{equation} R_y\left(\theta\right)|0\rangle=\cos{\dfrac{\theta}{2}}|0\rangle+\sin{\dfrac{\theta}{2}}|1\rangle \end{equation} }$

であるから

${\displaystyle \begin{align*} R_y\left(2\cos^{-1}{v_i})\right)|0\rangle_D &=\cos{\left(\cos^{-1}{v_i}\right)}|0\rangle_D+\sin{\left(\cos^{-1}{v_i}\right)}|1\rangle_D\\ &=v_i|0\rangle_D+\sqrt{1-v_i^2}|1\rangle_D \end{align*} }$

を得る。式(\ref{eq2})より $\sin{\left(\cos^{-1}{v_i}\right)}>0$ であることに注意する。ここまでをまとめると

${\displaystyle \begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1}|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C\;\left(v_i|0\rangle_D+\sqrt{1-v_i^2}|1\rangle_D\right)\tag{3} \label{eq3} \end{align} }$

である。

5. $D$ レジスタの測定

　 $D$ レジスタを構成する1ビットを測定する。0が測定されるまで繰り返す。0が測定されたとき全状態は次の状態に収縮する。

${\displaystyle \begin{align*} \dfrac{1}{\|{\bf v}\|}\sum_{i=0}^{N-1}v_i|i\rangle_A\;|b(v_i)\rangle_B\;|a_0a_1\cdots a_{m-1}\rangle_C\;|0\rangle_D \end{align*} }$