2つの自然数が互いに素である確率

はじめに

　Youtubeで面白い数学の問題が紹介されていたのでまとめておく。

問題

　問題文は以下の通り。

任意の2つの自然数が互いに素である確率を求めよ。

解答

　ある自然数を考えたとき、それが $n$ の倍数である確率は $1/n$ である。いま、2つの自然数 $A, B$ を取り出したとき、それらが同時に $n$ の倍数にならない確率 $P_n$ は

${\displaystyle \begin{equation} P_n=1-\dfrac{1}{n^2} \end{equation} }$

となる。これを用いると、 $A, B$ が互いに素になる確率 $P$ は

${\displaystyle \begin{equation} P=P_2 P_3 P_5 P_7 \cdots=\prod_{p:{\rm prime}}P_p\tag{1} \end{equation} }$

と書くことができる。ここで、 $p$ は素数である。式(1)の計算をさらに進める。

${\displaystyle \begin{eqnarray} P &=& \prod_{p:{\rm prime}}P_p\\ &=& \dfrac{1}{\prod_{p:{\rm prime}}\left(\dfrac{1}{P_p}\right)}\tag{2}\\ \end{eqnarray} }$

を得る。この分母を考える。

${\displaystyle \begin{eqnarray} \prod_{p:{\rm prime}}\left(\dfrac{1}{P_p}\right) &=& \prod_{p:{\rm prime}}\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p^2}}\right)\\ &=& \left(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2^2}}\right)\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3^2}}\right)\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{5^2}}\right)\cdots\tag{3}\\ &=& 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots\tag{4}\\ &=& \dfrac{\pi^2}{6}\tag{5} \end{eqnarray} }$